مسابقه شماره ۱۸۲
|
سوال
بر روی صفحه ای تعداد 3n نقطه وجود دارد که هیچ سه تایی آنها بر روی یک خط راست قرار ندارن. ثابت کنید که میتوان با این نقاط تعداد n مثلث ساخت که کاملا جدا از هم باشند. دو مثلث را جدا ازهم میگوییم اگر هر یک در بیرون دیگری قرار گرفته باشد و رئوس و اضلاع آنها هیچ برخوردی با یکدیگر نداشته باشند. |
 |
پاسخ
دستگاه مختصات دلخواهی را انتخاب میکنیم و نقاط را برحسب میزان طولشان در این دستگاه مرتب میکنیم. مثلا فرض منید نقاط مورد نظر p1(x1,y1) و p2(x2,y2) و p3n(x3n,y3n) باشند به طوریکه x1≤x2≤…≤x3n.
مثلثهای p1p2p3 و p4p5p6 و … و p3n-2p3n-1p3n را در نظر بگیرید. واضح است که این مثلثها جدا از هم هستند.