مسایقه شماره 231
سوال
در یک صفحه شطرنجی مربع به ضلع 1374 متر آیا می‌توان یک چند ضلعی با اضلاع افقی و عمودی که طول هر ضلع آن برحسب متر عدد صحیح باشد رسم کرد که محیط آن 1995 متر شود ؟
پاسخ
یکی از راس‌های این 1995 ضلعی را A می‌نامیم. از A حرکت کرده و محیط چند ضلعی را طی می‌کنیم تا دوباره به A برگردیم. اگر مسیر حرکت را برداری در نظر بگیریم بدیهی است که مجموع بردارها صفر می‌باشد. درستی مطالب زیر واضح است :
1. مجموع بردارهای در جهت راست با مجموع بردارهای در جهت چپ قرینه‌اند.
2. مجموع بردارهای در جهت بالا با مجموع بردارهای در جهت پایین قرینه‌اند.
3. اگر مجموع اندازه‌های بردارهای در سمت راست , چپ , بالا و پایین به ترتیب برابر با
a,b,c و d باشند , آنگاه a = b و c = d و همچینین :
1995 = a + b + c + d = 2a + 2c = 2 (a + c)
چون a و b هر دو صحیح‌اند پس تساوی فوق هرگز نمی‌تواند برقرار باشد.