تعداد همه‌ي چهارضلعي‌ها در يك صفحه را بشماريد كه مي‌توان با چهار نقطه از 9 نقطه‌ي ذيل به‌عنوان «رأس» آن‌ها تشكيل دهيم؟

در اين شمارش:

دقت بفرماييد هيچ چهارضلعي از شمارش نيافتد يا اين‌كه يك چهارضلعي بيش از دو بار به‌حساب نيايد.

اگرچه يك بحث تركيبياتي بهترين محمل براي آغاز حل اين مسأله است بسياري از دانش‌اموزان از راه‌هاي جالب بسياري استفاده مي‌كنند تا نشان دهند همه‌ي حالت‌هاي ممكن را پوشش داده‌اند. ولي بايد توجه داشت كه بسياري از چنين روش‌هايي با توجه به سختي اين موضوع كه همه‌ي موضوع‌ها پوشش داده شده به‌نتيجه منتهي نمي‌شود. هم چنين بيش‌تر اين روش‌ها در حد و اندازه‌هاي حل مسائل با چارچوب‌هاي بزرگ‌تر نيست.

 روش مختلف براي انتخاب چهار نقطه به‌عنوان رؤوس يك چهارضلعي وجود دارد. اما به هر حال، از اين تعداد بايد تعداد راه‌هايي را كم كنيم كه در آن سه نقطه بر روي يك خط راست قرار مي‌گيرند.

هشت راه براي انتخاب سه نقطه وجود دارد به‌گونه‌اي كه همه‌ي آن‌ها در راستاي يك خط قرار گرفته است؛ براي همه‌ي آن‌ها شش راه براي انتخاب چهارمين نقطه وجود دارد به‌طوري كه تعداد راه‌ها براي انتخاب چهار نقطه به‌نحوي باشد كه بتوانند يك چهارضلعي تشكيل داده دقيقاً داراي چهار ضلع مجزا باشد از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 1)

بعضي از آن مجموعه‌هاي چهار نقطه‌اي دقيقاً يك چهارضلعي تشكيل مي‌دهند نظير موارد ذيل:

در حالي كه ديگران نظير موارد ذيل يك سه‌ضلعي ايجاد مي‌كند:

در غير اين‌صورت چهار نقطه يك چهارضلعي تشكيل مي‌دهند.

دقيقاً هشت مجموعه از نقاط وجود دارد به‌گونه‌اي كه يكي از مجموعه‌ها داخل مثلث با سه مجموعه‌ي ديگر تشكيل مي‌شود:

	- يك مستطيل با ابعاد  و يك مستطيل با ابعاد
	- چهار مستطيل با ابعاد
	- چهار مستطيل با ابعاد

چهار متوازي‌الاضلاع از نوع اول در شكل 3 (سمت چپ) وجود دارد؛ بنابراين زوج اضلاع افقي حاضر ممكن است هر يك از زوج اضلاع مقابل در سمت چپ و راست شكل 3 باشد.

هشت متوازي‌الاضلاع از نوع دوم در شكل 3 (سمت راست) وجود دارد؛ بنابراين براي هريك از چهار مستطيل  دو متوازي‌الاضلاعي اين‌گونه وجود خواهد داشت.

در تمام حالت‌ها دوازده متوازي‌الاضلاع غيرمستطيل موجود خواهد بود.

16 ذوزنقه از نوع اول در شكل 4 (سمت چپ) وجود دارد به‌خاطر اين‌كه هريك از چهار مستطيل  شامل چهار نوع از چنين ذوزنقه‌هايي مي‌شود زيرا هريك با برش يك گوشه تشكيل شده و چهار گوشه نيز وجود دارد.

8 ذوزنقه از نوع دوم وجود دارد به‌خاطر اين‌كه هريك از چهار گوشه‌ي چنين آرايه‌اي از نقاط مي‌تواند ضلعي باشد كه در حال حاضر در پايين قرار دارد و براي هريك از چهار موقعيت، دو قاعده‌ي بزرگ‌تر مي‌تواند از دو قاعده‌ي ديگر به‌دست آيد.

چهار ذوزنقه از نوع سوم در شكل 4 وجود دارد به‌خاطر اين‌كه دو ضلع غيرموازي آن (زماني كه امتداد مي‌يابند) مي‌تواند در هريك از چهار گوشه‌ي آرايه‌ي نقاط مذكور تلاقي پيدا كنند.

مجموعاً 28 ذوزنقه وجود دارد.

براي نوع دوم از شكل 6 هريك از 8 پاره‌خط كناري آرايه‌ي نقاط با طول 1 مي‌تواند انتخاب شود؛ از آن‌جا بقيه‌ي شكل تعيين مي‌گردد. بنابراين 8 عدد از اين اشكال وجود خواهد داشت. در تمام حالت‌ها، 16 عدد از چنين اشكالي وجود خواهد داشت.

هشت نوع از شكل دوم وجود دارد بنابراين علاوه بر چهار حالت براي رأس واقع در گوشه هم‌چنين دو حالت براي آن ضلعي وجود خواهد داشت كه دهانه‌ي زاويه‌ي منفرجه به‌سمت آن است.

هشت شكل از نوع سوم از شكل 7 وجود خواهد داشت؛ بنابراين چهار موقعيت براي ضلع با طول 2 وجود دارد كه مي‌تواند در هريك از چهار ضلع آرايه‌ي نقاط قرار گيرد.

هم‌چنين دو حالت براي اين‌كه زاويه‌ي منفرجه به‌سمت آن باز شود وجود دارد.

چهار حالت از شكل نوع اخير (نوع سوم از شكل 7) وجود دارد بنابراين دهانه‌ي زاويه‌ي منفرجه مي‌تواند به‌سمت هريك از چهار كناره‌ي آرايه‌ي نقاط باز شود. در تمام حالت‌ها 24 شكل مقعر وجود خواهد داشت (شكل 8).

در شكل 8 تمام حالت‌هاي ممكن از اشكال مقعر را مشاهده خواهيد كرد. در تمام حالت‌ها تعداد چهارضلعي‌ها از رابطه‌ي ذيل محاسبه خواهد شد:

براي بررسي اين امر كه تمام اشكال دقيقاً يك‌بار شمارش مي‌شوند موارد ذيل را در نظر مي‌گيريم.  روش براي انتخاب چهار نقطه از ميان 9 نقطه وجود دارد. از همه‌ي تركيب‌ها از چهار نقطه تنها مواردي كه تشكيل چهارضلعي نمي‌دهند عبارت‌اند از حالت‌هايي كه سه‌نقطه در راستاي يك خط باشند. سه نقطه در صورتي مي‌توانند در راستاي يك خط باشند كه بر روي هشت خط گذرنده از سه نقطه قرار داشته باشند (شكل 9).

چهارمين نقطه مي‌تواند از هريك از 6 نقطه‌ي ديگري انتخاب شود كه بر روي آن خط قرار ندارند. بنابراين 48 تركيب از 4 نقطه وجود دارد كه نمي‌تواند تشكيل چهارضلعي دهند لذا تعداد تركيب‌ها از 4 نقطه كه تشكيل چهارضلعي مي‌دهند از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

با فرض چهار نقطه غيرواقع بر يك خط دقيقاً يك شكل مقعر مي‌تواند رسم شود. بنابراين 70 تركيب از چهار نقطه براي 70 چهارضلعي مقعر خواهيم داشت. اما به هر حال، اين امر براي اشكال مقعر صادق نيست؛ بيش از يك شكل مقعر در ارتباط با چهار نقطه قابل ترسيم است.

هريك از 8 تركيب باقي‌مانده مي‌تواند در ارتباط با سه چهارضلعي متفاوت تشكيل شود (شكل 10). بنابراين 24 چهارضلعي مقعر وجود خواهد داشت. در تمام حالت‌ها تعداد چهارضلعي‌هايي كه با شمارش قبلي‌مان تطبيق دارد از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 4)