| .gif) ضلعي‌هاي محاطي |
محققي به‌نام «راس هانس برگر» (Ross Honsberger) در يكي از كتاب‌هايش به‌نام «قطعه‌هايي از رياضي» (Mathematical Morsels) اين‌گونه مي‌نويسد: فرض كنيد نقاط .gif) ، .gif) و .gif) رؤوس يك مثلث متساوي‌الساقين محاطي باشند. براي هر نقطه‌ي .gif) بر روي دايره‌ي محيطي آن نشان مي‌دهيم كه مجموع دو پاره‌خط كوچك‌تر (از ميان .gif) ، .gif) و .gif) ) برابر است با پاره‌خط سومي كه از لحاظ طول از همه بزرگ‌تر است. براي اين منظور فرض مي‌كنيم .gif) طول اضلاع مثلث مذكور باشد. مطابق با «قضيه‌ي پتولمي» (Ptolemy's Theorem) داريم:
(رابطهي 1)
بنابراين داريم:
(رابطهي 2) اين نتيجه را مي‌توانيم براي هر ضلعي محاطي در دايره تعميم دهيم: از پاره‌خطي كه از اتصال نقطه‌ي به رؤوس ضلعي به‌دست مي‌آيد جمع .gif) پاره‌خط كوچك‌تر برابر است با جمع .gif) پاره‌خط بزرگ‌تر. اين قضيه گاهي اوقات به رياضيدان شهير آلماني «فرانس ون شوتن» (France Van Schooten) نسبت داده مي‌شود.
| «فرانس ون شوتن» | | (France Van Schooten) |
«فرانس ون شوتن» (France Van Schooten) رياضيدان آلماني است كه در سال 906 (1615 ميلادي) به‌دنيا آمد و در سال 951 (1660 ميلادي) درگذشت. شهرت وي به‌خاطر فعاليت‌هايش در زمينه‌ي «هندسه‌ي تجزيه‌اي» (Analytic Geometry) است. وي بر نوشته‌هاي «رنه ديسكارتز» (Rene Descartes) حاشيه زده و آن را منتشر كرد و براي درك جمله‌هاي بسيار مشكل اين رياضيدان به فرانسه رفت و به مطالعه‌ي كارهاي تحقيقاتي رياضيدانان مشهور آن زمان نظير: «فرانسيس ويته» (Francious Viete) و «پير دي فرمت» (Pierre de Fermat) پرداخت.
پدر «فرانس ون شوتن» (France Van Schooten) پروفسور رياضيات در «لايدن» (Leiden) بود و از شاگردانش مي‌توان به افرادي نظير ذيل اشاره كرد:
| - «كريستيان هيگنس» (Christiaan Huygens) | | - «يوهان ون واورن هوده» (Johann van Waveren Hudde) | | - «رنه دي اسلوز» (René de Sluze). |
وقتي كه در سال 1025 (1646 ميلادي) به موطن خود «لايدن» (Leiden) بازگشت كرسي مهم پدر در رياضيات را به وي تقديم كردند. ترجمه‌ي «فرانس ون شوتن» (France Van Schooten) از سلسله يادداشت‌هاي رياضيدان مشهور فرانسوي «ديسكارتس» (Descartes)، اين اثر را در بين جامعه‌ي رياضيات قابل فهم كرد؛ هم‌چنين «هندسه‌ي تجزيه‌اي» (Analytical Geometry) را عمومي كرد.
وي هم‌چنين با همكاري رياضيدانان آلماني زمان خود به‌نام‌هاي ذيل دو جلد كتاب در سال‌هاي 1038 و 1040 (1659 و 1661 ميلادي) منتشر كرد:
| - «دي بيون» de Beaune)) | | - «هوده» (Hudde) | | - «هيورت» (Heuret) | | - «دي ويت» (de Witt) |
تفسيرهاي بسيار زياد وي در اين كتاب‌ها باعث شد كه از كتاب نسخه‌ي 1028 (1649 ميلادي) تأثيرگذارتر باشد. «نيوتن» (Newton) و «لايبنيتز» (Leibniz) از اين دو كتاب در زمينه‌ي «حساب ديفرانسيل و انتگرال» (Calculus) بهره‌هاي بسياري بردند.
تلاش‌هاي اين دانشمند به‌گونه‌اي بود كه «لايدن» (Leiden) در نيمه‌ي قرن هفدهم ميلادي به يك مركز رياضيات در آلمان تبديل شده بود.
| «قضيه‌ي دوم پتولمي» | | (Ptolemy's Second Theorem) |
لازم به توضيح است كه «قضيه‌ي پتولمي» (Ptolemy's Theorem) قضيه‌اي قدرتمند است. به‌كمك اين قضيه مي‌توانيم قضاياي مشهور ذيل را ثابت كنيم:
| - «قضيه‌ي فيثاغورث» (Pythagorean Theorem) | | - «قانون سينوس‌ها» (Law of Sines) | | - «جمع و تفريق توابع سينوسي» | | - و ... |
«قضيه‌ي پتولمي» (Ptolemy's Theorem)
توسط روابط حاكم بر «اعداد مختلط» (Complex Numbers) به‌سادگي قابل اثبات است.
رياضيداني هندي به‌نام «ماهاويرا» (Mahavira) «قضيه‌ي پتولمي» را تعميم داده است. وي مي‌گويد: در چهارضلعي محاطي با اضلاع .gif) ، .gif) ، .gif) و .gif) و قطر .gif) و رابطه‌هاي ذيل برقرار است:
(رابطهي 3)
(رابطهي 4)
رياضيداني به‌نام «هـ. ايوس» (H. Ives) در كتاب خود با عنوان: «لحظاتي شكوهمند در رياضيات قبل از سال 1650» (Great Moments in Mathematics before 1650) مي‌نويسد:
اكنون به اثبات «قضيه‌ي دوم پتولمي» (Ptolemy's Second Theorem) مي‌پردازيم:
مطابق «قضيه‌ي دوم پتولمي» (Ptolemy's Second Theorem)، در هر چهارضلعي محاطي، نسبت قطرهاي چهارضلعي با نسبت مجموع حاصلضرب دو ضلع مجاور بر مجموع حاصلضرب دو ضلع مجاور ديگر برابر است.
براي اثبات فرض كنيد .gif) چهارضلعي محاطي در يك دايره به‌قطر .gif) باشد. فرض كنيد طول اضلاع .gif) ، .gif) ، .gif) و .gif) را به‌ترتيب ، ، و در نظر مي‌گيريم. هم‌چنين طول قطرهاي چهارضلعي .gif) و .gif) را و فرض مي‌كنيم. از طرف ديگر .gif) را زاويه‌ي بين هر قطر نسبت به خط عمود بر آن فرض مي‌كنيم.
در اين صورت با اعمال رابطهي .gif) در مثلث‌هاي .gif) و .gif) داريم:
(رابطهي 5)
(رابطهي 6)
بنابراين داريم:
(رابطهي 7)
رابطهي 7 بيانگر «قضيه‌ي دوم پتولمي» (Ptolemy's Second Theorem) است.
«ماهاويرا» (Mahavira) رياضيدان هندي در قرن نهم ميلادي اهل «گلبرگا» (Gullbarga) بود كه اثبات كرد ريشه‌‌ي دوم براي اعداد منفي وجود ندارد. وي جمع سري‌هايي را محاسبه كرد كه جمله‌هاي آن مربع «عبارت‌هاي منطقي» (Arithmetical Progration) هستند. وي هم‌چنين مساحت و محيط «بيضي» را محاسبه كرد.
وي علم «ستاره‌شناسي» (Astrology) را از «رياضيات» جدا كرد. وي در بين رياضيدانان هندي از جايگاه ويژه‌اي برخوردار است زيرا مفاهيمي از: مثلث متساوي‌الاضلاع و متساوي‌الساقين، متوازي‌الاضلاع، دايره و نيم‌دايره بيان كرد.
| «قانون كسينوس‌ها» | | (The Law of Cosines) (Cosine Rule) |
اگر «قضيه‌ي پتولمي» را در مورد چهارضلعي به‌كار ببريم خواهيم داشت:
(رابطهي 8)
اگر طرفين رابطه‌هاي 7 و 8 را در يكديگر ضرب كنيم خواهيم داشت:
(رابطهي 9)
اگر طرفين رابطه‌هاي 7 و 8 را بر هم تقسيم كنيم خواهيم داشت:
(رابطهي 10)
هم‌چنين مي‌توان ثابت كرد كه اگر قطرهاي چهارضلعي محاطي بر يكديگر عمود باشند خواهيم داشت:
(رابطهي 11)
با به‌كار بردن رابطه‌هاي 5 و 6 در رابطه‌هاي 9 و 10 خواهيم داشت:
(رابطهي 12)
(رابطهي 13)
اگر طرفين رابطه‌هاي 12 و 13 را در .gif) و .gif) ضرب كرده و با يكديگر جمع كنيم خواهيم داشت:
(رابطهي 13)
| «قضيه‌ي استوارت» | | (Stewart Theorem) |
اگر بخواهيم به‌صورتي پيچيده «قضيه‌ي استوارت» (Stewart Theorem) را توضيح دهيم مي‌توانيم از عبارت‌هايي نظير ذيل استفاده كنيم:
چنان‌چه از يكي از رؤوس مثلث بر ضلع مقابل خطي رسم شود حاصلضرب ضلع مقابل آن رأس از مثلث با مجموع «مجذور پاره‌خط محدود به رأس و ضلع مقابل آن» و «حاصلضرب دو پاره‌خط به‌وجود آمده در ضلع مقابل» برابر است با مجموع حاصلضرب‌هاي مجذور ضلع مجاور آن رأس در نزديك‌ترين پاره‌خط به‌وجود آمده بر ضلع مقابل.
توضيح ساده‌ي اين مطلب آن است كه:
در مثلث .gif) اگر از رأس خطي به ضلع مقابل رسم كنيم به‌گونه‌اي كه ضلع مقابل را در نقطه‌اي نظير: c قطع كند خواهيم داشت:
(رابطهي 14)
براي اثبات اين قضيه، از «قانون كسينوس‌ها» استفاده مي‌كنيم:
(رابطهي 15)
(رابطهي 16)
با ضرب طرفين رابطه‌هاي 2 و 3 به‌ترتيب در .gif) و .gif) خواهيم داشت:
(رابطهي 17)
(رابطهي 18)
اكنون با جمع روابط 4 و 5 با هم جمع خواهيم داشت:
(رابطهي 19)
بدين‌ترتيب «قضيه‌ي استوارت» (Stewart Theorem) ثابت مي‌شود. |