افراز 2n تا عدد صحیح

اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» < «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» < «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر 
    - آشنايي با روش اثبات استقرايي
 محتواي آموزشي
    - استقرا.

اثبات کنید برای هر عدد، اعداد صحیح  می‎توانند به‌صورت جفت‌های ذيل افراز شوند:

به‌طوری‎که برای هر  همواره  عدد اول باشد.

برای آشنایی با روش‏های اثبات می‏توانید بخش‏های ذيل را مطالعه کنید:

اثبات این ادعا توسط یک فرضیه‌ - كه در سال 1324 (1945 ميلادي) مطرح شد و در سال 1329 (1950 ميلادي)‌ به‌اثبات رسيد - صورت می‎گیرد.

برای هر عدد طبیعی  حداقل یک عدد اول بین و  وجود دارد.

براي اثبات از «استقرا» استفاده مي‌كنبم:

استقرا را با  شروع می‎کنیم.

بدیهی است که جفت با مجموع 3 - که عددی اول است – به‌دست می‎آید.

سپس فرض می‎کنیم برای هر عدد طبیعی  صحیح است و اعداد را می‎توان به‌صورت جفت‌های  اراز کرد؛ به‎طوری‎که برای هر همواره  ددي اول باشد.

حال باید برای ثابت کنیم یعنی باید اعداد 1 تا را جفت کنیم.

با توجه به قضیه‎ی فوق تضمین می‎شود که:

عدد اولی بین  ا  جود دارد که رابطه‌ي ذيل در آن صدق مي‌كند:

و بنابراین جفت شدن‎ها می‎تواند به‌صورت ذيل باشد:

-  با -  با - ... -  با

بنابراین به تا جفت افراز کرده‌ایم که مجموع هرکدام برابر  بوده و عددی اول است.

افراز 2n تا عدد صحیح

اهداف آموزشي
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي»
 اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل روابط»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» < «توليد يك نقشه يا مجموعه‌ اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» < «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»
 نتايج مورد نظر 
    - آشنايي با روش اثبات استقرايي
 محتواي آموزشي
    - استقرا.

اثبات کنید برای هر عدد، اعداد صحیح  می‎توانند به‌صورت جفت‌های ذيل افراز شوند:

به‌طوری‎که برای هر  همواره  عدد اول باشد.

برای آشنایی با روش‏های اثبات می‏توانید بخش‏های ذيل را مطالعه کنید:

اثبات این ادعا توسط یک فرضیه‌ - كه در سال 1324 (1945 ميلادي) مطرح شد و در سال 1329 (1950 ميلادي)‌ به‌اثبات رسيد - صورت می‎گیرد.

برای هر عدد طبیعی  حداقل یک عدد اول بین و  وجود دارد.

براي اثبات از «استقرا» استفاده مي‌كنبم:

استقرا را با  شروع می‎کنیم.

بدیهی است که جفت با مجموع 3 - که عددی اول است – به‌دست می‎آید.

سپس فرض می‎کنیم برای هر عدد طبیعی  صحیح است و اعداد را می‎توان به‌صورت جفت‌های  اراز کرد؛ به‎طوری‎که برای هر همواره  ددي اول باشد.

حال باید برای ثابت کنیم یعنی باید اعداد 1 تا را جفت کنیم.

با توجه به قضیه‎ی فوق تضمین می‎شود که:

عدد اولی بین  ا  جود دارد که رابطه‌ي ذيل در آن صدق مي‌كند:

و بنابراین جفت شدن‎ها می‎تواند به‌صورت ذيل باشد:

-  با -  با - ... -  با

بنابراین به تا جفت افراز کرده‌ایم که مجموع هرکدام برابر  بوده و عددی اول است.