با وجود اين، ثابت كنيد كه اگر عدد طبيعي جديدي چون به اين سه‌تايي اضافه كنيم ديگر چنين چيزي درست نيست. به‌عبارت ديگر به‌ازاي هر عدد طبيعي مانند: ، عددهايي كه يك واحد كم‌تر از حاصلضرب دو تا از عددهاي چهارتايي هستند همگي مربع كامل نيستند.
رده‌ي مانده‌ي به‌پيمانه‌ي 4 را در نظر مي‌گيريم. توجه مي‌كنيم كه هر مربع كامل به‌پيمانه‌ي 4 همواره با يكي از دو عدد 0 و 1 همنهشت است زيرا:
چند حالت وجود دارد:
حال فرض مي‌كنيم هر سه عدد ، و مربع كامل باشند و مي‌كوشيم به‌تناقض برسيم.
اگر مربع كامل باشد، به‌دليل اين‌كه ضريب 4 مربع كامل است بايد عامل نيز مربع كامل باشد.
به‌همين ترتيب عامل نيز در عدد بايد مربع كامل باشد. بنابراين هر يك از عددهاي ، و بايد مربع كامل باشد.
از اين رو اگر فرض كنيم:
معلوم مي‌شود كه:
اينك همان‌طور كه در بالا گفتيم:
- و (به پيمانه 4) 0 يا
از آن‌جا كه هيچ‌گاه به‌پيمانه‌ي 4 همنهشت 3 نمي‌شود نتيجه مي‌گيريم:
از آن‌جا كه هر يك از دو عدد به‌پيمانه‌ي 4 يا همنهشت 0 است يا همنهشت 1، همنهشتي بالا زماني درست است كه داشته باشيم:
به‌عبارت ديگر بايد عددي زوج باشد ولي روشن است كه چنين نيست زيرا: .