ساخت كلمه!

با 4 حرف A ، 4 حرف B ، 4 حرف C و 4 حرف D چند کلمه ی 16 حرفی می توان نوشت که هیچ 2حرف A و هیچ 2حرف B مجاور نباشند؟

پاسخ

ابتدا حروف B، C و D را در يك رديف قرار مي‌دهيم، سپس حروف A را طوري قرار مي‌دهيم كه شرط مسئله برقرار باشد. براي قرار دادن حروف B، C و D حالت‌هاي زير را داريم:

حالت اول: هر چهار حرف B مجاور هستند. تعداد جايگشت‌هايB، Cو D در اين حالت برابر است. حال براي قرار دادن 4 حرف A بايد سه تاي آنها را بين 4 حرف B قرار دهيم و براي A ديگر، 10 انتخاب داريم. پس تعداد كلمات در اين حالت برابر است.

حالت دوم: فقط 3 تا از 4 حرف B مجاور هم هستند. تعداد جايگشت هايB، Cو D در اين حالت برابر است. حال 2 تا از 4 حرفA بايد بين 3 حرف B قرار گيرند و 2 تاي ديگر نيز طوري بايد بين بقيه‌ي حروف قرار گيرند كه مجاور نباشند لذا از 11 فضاي خالي موجود بين حرف‌ها دو تا را بايد A اشغال كند. لذا تعداد كلمات در اين حالت برابر است.

حالت سوم: دو تا از حرف‌هاي B در جايي مجاور و دوتاي ديگر در جاي ديگر مجاور باشند. در اين حالت تعداد جايگشت‌هاي B، Cو D برابر است و به طريق نيز A را مي‌توانيم در بين حروفB، Cو D  قرار دهيم. لذا تعداد كلمات در اين حالت برابر است.

حالت چهارم: دو تا از حرف هاي B مجاور باشند و دوتاي ديگر مجاور نباشند در اين حالت تعداد جايگشت‌هايB، Cو D  برابر است و به طريق مي‌توانيم A را در بين B، Cو D قرار دهيم. پس تعداد كلمات در اين حالت برابر است.

حالت پنجم: هيچ دو تا از حروف B مجاور نباشند. در اين حالت تعداد جايگشت‌هاي C , B و D برابر و به طريق مي‌توانيم A در بين B، Cو D  قرار دهيم. لذا تعداد كلمات در اين حالت برابر است.

پس تعداد كل كلمات برابر است با