مرحله‌ي اول – بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك  بر  بخش‌پذير است.

براي اثبات از «فرمول چندجمله‌اي» استفاده مي‌كنيم:

(رابطه‌ي 2)

(رابطه‌ي 3)

با كم كردن رابطه‌ي 3 از رابطه‌ي 2 خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 4)

بنابراين بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك  از ‌بايد بر  جمع آن‌ها يعني بخش‌پذير باشد. همان‌طور كه فرض شده بود.

 مرحله‌ي دوم – چون بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك  بايد بر بخش‌پذير باشد اثبات مي‌كنيم كه  يا 1 است يا 2.

 مرحله‌ي سوم – براي  «زوج» است.

براي اثبات از اتحاد ذيل استفاده مي‌كنيم:

(رابطه‌ي 5)

در اين صورت خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 6)

از آن‌جايي كه سمت راست رابطه‌ي 6 عددي «صحيح» و «زوج» است و اين در حالي است كه  هميشه «فرد» است نتيجه مي‌گيريم كه  بايد «زوج» باشد. بنابراين همه‌ي ضرايب چندجمله‌اي ما «زوج» خواهد بود.

در نتيجه چون بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك  برابر 2 خواهد بود همان‌طور كه ادعا كرده بوديم.

نتيجه‌ي الف
براي عدد «فردي» نظير: ، بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك  برابر  است.

 نتيجه‌ي ب
اگر  عددي اول باشد و  عدد صحيح ثابتي فرض شود كه نسبت به  «اول» است  بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك اعداد به‌شكل است كه در آن:

	نسبت به  اول است.

براي اثبات نتيجه‌ي ب، كافي است در مرحله‌‌ي اول بگوييم: اگر  يك مقسوم‌عليه  و بزرگ‌ترين توان  باشد كه بر  بخش‌پذير است پس  بر  بخش‌پذير نخواهد بود. مي‌توانيد خودتان اين اثبات را ادامه داده به نتيجه برسانيد.