مکانيک...سؤال همراه با جواب
سؤال
حلقه‌اي نازک و توخالي به جرم M و شعاع r روي سطح افقي قرار دارد. در ابتدا حلقه ساکن است. واشر کوچکي به جرم m که داخل حلقه قرار دارد، از حالت سکون و باز بالاترين نقطه‌ي حلقه شروع به لغزيدن به سمت پايين مي‌کنند. سرعت مرکز حلقه (u) در لحظه‌اي که واشر در نقظه A قرار دارد چقدر است؟ شعاع واصل به نقطه‌ي A با امتداد قائم زاويه‌اي مي‌سازد (شکل). از اصطکاک بين حلقه و سطح صرف نظر کنيد.
جواب
نيروهاي وارد بر سيستم حلقه-واشر عبارتند از: نيروي وزن و نيروي عکس العمل عمودي سطح و اين نيروها در جهت عمودي قرار دارند. چون بين حلقه و سطح اصطکاک وجود ندارد، حلقه تنها حرکت انتقالي دارد. براساس قانون بقاي اندازه حرکت، براي هر لحظه دلخواه داريم:
که u و vx مؤلفه‌هاي افقي سرعت مرکز حلقه و واشر مي‌باشند؛ چون علامت vx به طور متناوب عوض مي‌شود، علامت u نيز همزمان تغيير مي‌کند.
حرکت کُلي حلقه به اين صورت است: مرکز حلقه وقتي واشر در قسمت‌هاي BC و BE قرار دارد، به سمت راست حرکت مي‌کند. و وقتي واشر در قسمت‌هاي CD و DE قرار دارد، به سمت چپ حرکت مي‌کند (شکل۱). سرعت v واشر و سرعت u حلقه، براساس قانون بقاي انرژي به صورت زير با هم ارتباط دارند:
حرکت واشر را نسبت به ناظر ساکن در هر لحظه مي‌توان ترکيبي از دو حرکت دانست: حرکت آن نسبت به مرکز حلقه با سرعت vt در جهت مماس به حلقه، و حرکت همراه با حلقه با سرعت افقي u. از روي شکل۲ واضح است که:
با حل همزمان معادلات ۱ و ۳ سرعت مرکز حلقه را در لحظه‌اي که شعاع واصل آن به واشر با امتداد قائم زاويه ϕ مي‌سازد، به‌دست مي‌آوريم:
