الف –  و  عدد صحيح غير اول

 اگر  و  عدد صحيح غير اول باشند

ب -  و  عدد صحيح اول

 اگر  عدد صحيح اول باشد:

با به‌كار بردن «نظريه‌ي ويلسون» باقي‌مانده‌ي تقسيم  بر  عدد يك خواهد بود:

در نتيجه باقي‌مانده‌ي تقسيم  بر  نيز همان عدد يك خواهد بود:

بنابراين تقسيم  بر  باقي‌مانده‌ي  دارد:

از اين مسأله نتيجه مي‌گيريم كه  عددي صحيح خواهد بود.

اما از آن‌جايي كه  زوج است  فرد بوده بنابراين  نيز فرد است.

مي‌دانيم:

از طرفي داريم:

 اگر  عدد صحيح اول باشد:

آن‌گاه  عددي صحيح و زوج است بنابراين  عددي صحيح و فرد خواهد بود. با استفاده از «نظريه‌ي ويلسون» باقي‌مانده‌ي تقسيم  بر  عدد  بوده و لذا  عددي صحيح و فرد خواهد بود:

بنابراين عبارت ذيل عددي زوج است:

ياداوري – «نظريه‌ي ويلسون» (Wilson's Theorem) كه بيان مي‌دارد  عددي اول است اگر باقي‌مانده‌‌ي تقسيم  بر  عدد  باشد .

اگر  عددي غير اول باشد داراي ضريبي خواهد بود كه كوچك‌تر و مساوي  بوده و بر  بخش‌پذير است و لذا بر  غيرقابل تقسيم مي‌باشد. بنابراين باقي‌مانده‌‌ي تقسيم  بر  عدد  نخواهد بود:

اكنون فرض كنيد  عدد اول است. اگر  باشد در اين‌صورت باقي‌مانده‌‌‌ي تقسيم بر 2 عدد  خواهد بود:

اكنون فرض كنيد  فرد است. توجه داشته باشيد اگر باقي‌مانده‌‌ي تقسيم بر  عدد يك  و  باشد در اين صورت داريم:

 يا  

براي تقسيم  بر  و بنابراين تقسيم  بر  نتيجه مي‌دهد:  يا اين‌كه با تقسيم  بر  نتيجه مي‌دهد: .

اكنون براي هر ، تنها يك  وجود دارد به‌گونه‌اي كه باقي‌مانده‌‌‌ي تقسيم  بر عدد  يك باشد .

ما تنها نشان داده‌ايم كه است اگر  يا . بنابراين مي‌توانيم با تقسيم حاصلضرب هر دو  بر  عدد يك به‌دست آوريم.

مي‌دانيم حاصلضرب توان‌هاي 2 شامل:  عبارت است از: .

اگر داشته باشيم:  بنابراين  بر  بخش‌پذير است. بنابراين به‌عنوان مثال براي  عبارت ذيل زوج است:

براي عبارت  بر  بخش‌پذير بوده و  بر 8 بخش‌پذير نيست به‌گونه‌اي كه عبارت ذيل زوج است:

الف –  و  عدد صحيح غير اول

 اگر  و  عدد صحيح غير اول باشند

ب -  و  عدد صحيح اول

 اگر  عدد صحيح اول باشد:

با به‌كار بردن «نظريه‌ي ويلسون» باقي‌مانده‌ي تقسيم  بر  عدد يك خواهد بود:

در نتيجه باقي‌مانده‌ي تقسيم  بر  نيز همان عدد يك خواهد بود:

بنابراين تقسيم  بر  باقي‌مانده‌ي  دارد:

از اين مسأله نتيجه مي‌گيريم كه  عددي صحيح خواهد بود.

اما از آن‌جايي كه  زوج است  فرد بوده بنابراين  نيز فرد است.

مي‌دانيم:

از طرفي داريم:

 اگر  عدد صحيح اول باشد:

آن‌گاه  عددي صحيح و زوج است بنابراين  عددي صحيح و فرد خواهد بود. با استفاده از «نظريه‌ي ويلسون» باقي‌مانده‌ي تقسيم  بر  عدد  بوده و لذا  عددي صحيح و فرد خواهد بود:

بنابراين عبارت ذيل عددي زوج است:

ياداوري – «نظريه‌ي ويلسون» (Wilson's Theorem) كه بيان مي‌دارد  عددي اول است اگر باقي‌مانده‌‌ي تقسيم  بر  عدد  باشد .

اگر  عددي غير اول باشد داراي ضريبي خواهد بود كه كوچك‌تر و مساوي  بوده و بر  بخش‌پذير است و لذا بر  غيرقابل تقسيم مي‌باشد. بنابراين باقي‌مانده‌‌ي تقسيم  بر  عدد  نخواهد بود:

اكنون فرض كنيد  عدد اول است. اگر  باشد در اين‌صورت باقي‌مانده‌‌‌ي تقسيم بر 2 عدد  خواهد بود:

اكنون فرض كنيد  فرد است. توجه داشته باشيد اگر باقي‌مانده‌‌ي تقسيم بر  عدد يك  و  باشد در اين صورت داريم:

 يا  

براي تقسيم  بر  و بنابراين تقسيم  بر  نتيجه مي‌دهد:  يا اين‌كه با تقسيم  بر  نتيجه مي‌دهد: .

اكنون براي هر ، تنها يك  وجود دارد به‌گونه‌اي كه باقي‌مانده‌‌‌ي تقسيم  بر عدد  يك باشد .

ما تنها نشان داده‌ايم كه است اگر  يا . بنابراين مي‌توانيم با تقسيم حاصلضرب هر دو  بر  عدد يك به‌دست آوريم.

مي‌دانيم حاصلضرب توان‌هاي 2 شامل:  عبارت است از: .

اگر داشته باشيم:  بنابراين  بر  بخش‌پذير است. بنابراين به‌عنوان مثال براي  عبارت ذيل زوج است:

براي عبارت  بر  بخش‌پذير بوده و  بر 8 بخش‌پذير نيست به‌گونه‌اي كه عبارت ذيل زوج است: