سؤال
حلقه‌اي از 12 دايره‌ي يكسان كل محيط دايره‌اي به‌شعاع واحد ‍C را پوشانده‌اند. هر يك از اين 12 دايره بر دو دايره‌ي مجاور خود مماس است.
اگر مجموع مساحت‌ها ي اين 12 دايره برابر    باشد ‌كه در آن a,b,c اعداد طبيعي بوده و   عددي گنگ است، مقدار  a+b+c چقدر است؟

 
فرض كنيم شعاع هر يك از 12 دايره برابر  باشد. دو دايره‌ي مجاور با شعاع  را در نظر مي‌گيريم. مركزهاي اين دو دايره را  و  و نقطه‌ي تماس اين دو دايره را  و مركز دايره‌ي  را  مي‌گيريم.
مي‌دانيم  وسط پاره‌خط  و خط  بر عمود است.
هم‌چنين طول  برابر شعاع دايره‌ي  يعني 1 است و زاويه‌ي  برابر  درجه است.
در مثلث داريم:

از طرفي با توجه به رابطه‌ي مثلثاتي ذيل:





داريم:









بنابراين مجموع مساحت‌هاي اين 12 دايره برابر است با: