باز هم ندا كوچولو!
آن‌چه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.
چكيدهاهداف آموزشي اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي» اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير» - «فهميدن» > «ترجمه» > «كاربستن» - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» < «توليد يك نقشه يا مجموعه اقدام‌هاي پيشنهادي» - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» < «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي» نتايج مورد نظر - آشنايي با احتمال - آشنايي با روابط بازگشتي - روش حل مسأله با استفاده از احتمال و روابط بازگشتي محتواي آموزشي - احتمال - روابط بازگشتي.
مقدمهاصطلاح «اميد رياضي» (Expected Value) در «نظريه‌ي احتمال» (Probability Theory) كاربرد زيادي داشته و در مورد يك متغير گسسته‌ي تصادفي به‌كار مي‌رود و عبارت است از مجموع حاصل‌ضرب‌هاي هر نتيجه‌ي ممكن در مقدار نتيجه‌ي مذكور. به‌عنوان مثال:«اميد رياضي» (Expected Value) ظاهر شدن يك عدد در يك تاس شش‌وجهي از رابطهي ذيل به‌دست مي‌آيد:
به‌عنوان مثال:«اميد رياضي» (Expected Value) ظاهر شدن يك عدد در يك تاس شش‌وجهي از رابطهي ذيل به‌دست مي‌آيد:
وي مجدداً دو انتهاي آزاد را به‌صورت تصادفي انتخاب كرده و به يكديگر گره مي‌زند و به‌همين ترتيب ادامه مي‌دهد تا اين‌كه انتهايي آزاد باقي نماند.
با استدلال مقدار «اميد رياضي» مربوط به تعداد حلقه‌هاي طناب ايجاد شده توسط «ندا كوچولو» را تا پايان يافتن كامل عمليات گره زدن حساب كنيد.
ياداوري - انتخاب انتهاي آزاد براي گره زدن ممكن است از دو انتهاي يك طناب نيز انجام شود.
ساده‌ترين راه‌حل آن است كه از توسعه‌ي «فرمول برگشتي» براي تعداد مورد انتظار حلقه‌ها - كه با طناب شروع مي‌شود – استفاده كرد. اما به هر حال ممكن است براي پيدا كردن «اميد رياضي» مربوط به تعداد حلقه‌هاي طناب ايجاد شده براي شمارش همه‌ي حلقه‌هاي امكان‌پذير به‌كار رود
اجازه بدهيد «اميد رياضي» در مورد تعداد حلقه‌ها براي اين فرايند با طناب در شروع باشد. از لم ذيل براي حل مسأله استفاده مي‌كنيم:(رابطهي 1)براي اثبات رابطهي 1، فرايند را با طناب شروع مي‌كنيم. بعد از انتخاب يك سر آزاد، سر آزاد باقي مي‌ماند كه احتمال براي انتهاي ديگر همان طناب در انتخاب دوم وجود خواهد داشت. اگر چنين امري واقع شود يك حلقه قبلاً تشكيل شده و به طناب نيز دست نزده‌ايم. بنابراين «اميد رياضي» در مورد تعداد حلقه‌هاي تشكيل شده از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 1)
براي اثبات رابطهي 1، فرايند را با طناب شروع مي‌كنيم. بعد از انتخاب يك سر آزاد، سر آزاد باقي مي‌ماند كه احتمال براي انتهاي ديگر همان طناب در انتخاب دوم وجود خواهد داشت. اگر چنين امري واقع شود يك حلقه قبلاً تشكيل شده و به طناب نيز دست نزده‌ايم. بنابراين «اميد رياضي» در مورد تعداد حلقه‌هاي تشكيل شده از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 2)
بدين‌ترتيب احتمالي برابر براي انتخاب يك انتهاي يك طناب متفاوت با رها كردن طناب (يكي بزرگ‌تر و طناب كوچك‌تر) وجود خواهد داشت.
بنابراين مقدار «اميد رياضي» در مورد تعداد حلقه‌ها خواهد بود. با تركيب دو احتمال رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 3)
واضح است كه رابطهي ذيل برقرار است:
(رابطهي 4)
(رابطهي 5)
بنابراين اگر «صادق» داراي شش طناب باشد كه با انتخاب تصادفي دو سر آزاد در يك زمان به يكديگر گره بزند «اميد رياضي» در مورد تعداد حلقه‌هايي كه در پايان ايجاد خواهد كرد برابر خواهد بود.
- اولين گره با رها كردن انتهاي طناب‌ها با روش مي‌تواند انجام مي‌شود.
- گره بعدي مي‌تواند با روش، گره بعدي با روش و ... انتخاب شود.
ترتيب گره‌ها اهميتي ندارد اما به هر حال بايد حاصل‌ضرب اين ضرايب چندجمله‌اي را بر تقسيم كنيم. بنابراين تعداد راه‌ها از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 6)
اكنون تعداد راه‌هاي گره زدن طناب به يكديگر براي ايجاد حلقه را در نظر مي‌گيريم. طناب‌ها مي‌توانند پي در پي به يكديگر با ترتيبي دلخواه گره زده شوند به‌گونه‌اي كه راه براي ترتيب انجام آن وجود داشته باشد.
اولين انتهاي اولين طناب مي‌تواند به هر انتهاي دومين طناب گره زده شود و سر باقي‌مانده‌ي دومين طناب به انتهاي سومين طناب و به‌همين ترتيب ادامه مي‌دهيم.
راه براي انجام اين امر وجود دارد بنابراين كل تعداد راه‌ها براي گره زدن طناب به يكديگر در يك «حلقه‌ي تك» از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 7)
نهايتاً مي‌توانيم تعداد كل حلقه‌ها بين همه‌ي گره‌هاي ممكن را بشماريم:
- راه براي انتخاب يك طناب و راه براي گره زدن آن به يك حلقه و راه براي گره زدن بقيه‌ي طناب‌ها به يكديگر وجود دارد.
با توسعه‌ي اين فرايند، مي‌توان هر حلقه به هر ميزان بزرگي را شمارش كرد. بدين‌ترتيب تعداد كل حلقه‌ها از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 8)
از آن‌جايي كه رابطهي ذيل در مورد تعداد گره‌ها صادق است:
(رابطهي 9)
مقدار «اميد رياضي» در مورد تعداد حلقه‌ها از رابطهي ذيل محاسبه خواهد شد:
(رابطهي 10)