زنگ‌تفريح شماره‌ي 66
در رابطه با يك خبر
چندي پيش خبرگزاري «خبرآنلاين» خبري را منتشر كرد تحت عنوان جايزه‌ي يك ميليون دلاري براي يك مساله‌ي رياضي و البته يكي از خوانندگان اين خبر، نظري گذاشته بود كه اين خبر مربوط به چندين سال پيش است و از اين‌كه اين خبر الان منتشر شده بود اظهار تعجب كرده بود. البته حق با خواننده‌ي محترم بود و جايزه‌ي يك ميليون دلاري موسسه‌ي كلي به 7 مساله‌ي تاريخي رياضي، مربوط به شروع قرن بيست‌ويكم است، يعني ده سال پيش. اما چه چيزي باعث شده كه اين خبر دوباره بر سر زبان‌ها بيُفتد؟ مساله‌اي كه در خبر مربوط به خبرگزاري خبرآنلاين به آن اشاره نشده بود اين بود كه امسال فرضيه‌ي ريمان 150-ساله مي‌شود و 18اُم نوامبر رسماً به‌عنوان روز فرضيه‌ي ريمان نام‌گذاري شده است. فرضيه‌اي كه هر جا نام مساله‌هاي حل‌نشده‌ي رياضي هست، نامش مي‌درخشد.
 | |  |
ريمان | | نمودار قطبي تابع زتا براي صفرهاي غير بديهي |
فرضيه‌ي ريمان مهم‌ترين مساله‌ي حل‌نشده‌ي نظريه‌ي اعداد و به عقيده‌ي بسياري از رياضي‌دانان شايد مهم‌ترين مساله‌ي حل‌نشده‌ي تاريخ رياضيات است. ديويد هيلبرت (David Hilbert) رياضي‌دان آلماني سده‌هاي نوزده و بيست كه 23 مساله‌ي تاريخ رياضي او مشهور است درباره‌ي فرضيه‌ي ريمان گفته است: «اگر پس از خوابي هزارساله بيدار شوم، اولين سوالي كه خواهم پرسيد اين است: آيا فرضيه‌ي ريمان حل شده است؟». موسسه‌ي تحقيقاتي رياضي كلي (Clay Mathematics Institute) براي 7 مساله‌ي تاريخي رياضيات جايزه‌هاي 1 ميليون دلاري در نظر گرفته است كه يكي از اين مساله‌ها همين فرضيه‌ي ريمان است (از اين 7 مساله تاكنون يكي از آنها (حدس پوانكاره) بوسيله‌ي پرلمان (Perelman)، رياضي‌دان روسي حل شده است، البته او اين جايزه را قبول نكرد!).
 | |  |
هيلبرت | | پرلمان |
برنارد ريمان (Bernhard Riemann)، رياضي‌دان آلماني، در سال 1859 ميلادي مقاله‌اي با عنوان
Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse
منتشر كرد (يعني: در مورد تعداد عددهاي اول كوچك‌تر از مقداري داده‌شده) كه فرضيه‌ي معروف خود را در آن ارائه كرد. او در اين مقاله سري زتاي ريمان و ارتباط آن را عددهاي اول را نشان داده است. اين سري در ابتدا به‌وسيله‌ي اويلر معرفي شده بود. (مي‌توانيد فايل دست‌نويس مقاله‌ي ريمان را با كليك روي اينجا دانلود كنيد.) اين سري عبارت است از:
در واقع اين سري برابر است با سري زير كه مانند غربال اراتستن عددهاي اول را بيرون مي‌كشد.
اين سري به ازاي همه‌ي sهاي نامساوي 1 تعريف مي‌شود. اما اين سري به‌ازاي چه عددهايي صفر است؟ به‌سادگي مي‌توان حساب كرد كه براي عددهاي 2-، 4-، 6- و ... صفر است. به اين‌ها ريشه‌هاي صفر بديهي تابع زتا مي‌گويند. اما بقيه‌ي ريشه‌هاي اين تابع چگونه‌اند؟ اين همان سوالي است كه تاكنون جواب آن يافت نشده است و ريمان حدس زده است كه اين صفرها عددهايي مختلط هستند كه قسمت حقيقي آنها برابر عدد ½ است.