چهار نقطه‌ي

غيرواقع در يك صفحه

فرض كنيد نقاط ، ،  و  در يك صفحه قرار نداشته باشند و رابطه‌هاي ذيل صادق باشد:

(رابطه‌‌ي 1)

ثابت كنيد:

(رابطه‌‌ي 2)

اين مسأله را كلي‌تر حل مي‌كنيم.

اگرچه خارج از فرض است ولي فرض مي‌كنيم نقاط ، ، و  بر روي يك صفحه قرار دارند. اگر  يك چهارضلعي محدب باشد در صورت برابري زاويه‌هاي مقابل، چهارضلعي مذكور «متوازي‌الاضلاع» بوده و اضلاع مقابل با يكديگر برابر خواهند بود. در نتيجه رابطه‌ي 2 برقرار خواهد بود.

اما اگر  چهارضلعي محدب باشد رابطه‌ي  نشان مي‌دهد نقاط  ، ، و  بر روي يك دايره قرار مي‌گيرد و بنابراين داريم:

در اين حالت مطمئناً رابطه‌هاي ذيل برقرار نخواهد بود:

(رابطه‌‌ي 4)

اگر از زواياي  كسينوس بگيريم خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 5)

بنابراين خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 6)

به‌طور مشابه اگر از زواياي  كسينوس بگيريم خواهيم داشت:

و بنابراين رابطه‌ي ذيل حاصل مي‌شود:

(رابطه‌‌ي 8)

اگر ،  و  را به‌صورت ذيل تعريف كنيم:

و رابطه‌ي 9 را در رابطه‌هاي 6، 7 و 8 قرار دهيم خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 10)

در رابطه‌هاي 10 اگر هر يك از مقادير  يا  برابر «صفر» باشد ديگري نيز «صفر» خواهد بود.

اما اگر  و  برابر «صفر» باشند و داشته باشيم:

بنابراين خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 12)

از سوي ديگر اگر نه  نه  برابر «صفر» نباشند نتيجه خواهيم گرفت:

(رابطه‌‌ي 13)

و در نتيجه خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 14)

بنابراين خواهيم داشت:

	-
	يا
	-

در هر حالت از قضيه‌ي «پتولمي» (Ptolemy's Theorem) استفاده مي‌كنيم.

استفاده از اين قضيه نشان مي‌دهد كه:

اما اگر فرض شود نقاط  ، ، و  بر روي يك صفحه قرار نداشته باشند بنابراين لازم است رابطه‌ي 4 برقرار باشد.

چهار نقطه‌ي

غيرواقع در يك صفحه

فرض كنيد نقاط ، ،  و  در يك صفحه قرار نداشته باشند و رابطه‌هاي ذيل صادق باشد:

(رابطه‌‌ي 1)

ثابت كنيد:

(رابطه‌‌ي 2)

اين مسأله را كلي‌تر حل مي‌كنيم.

اگرچه خارج از فرض است ولي فرض مي‌كنيم نقاط ، ، و  بر روي يك صفحه قرار دارند. اگر  يك چهارضلعي محدب باشد در صورت برابري زاويه‌هاي مقابل، چهارضلعي مذكور «متوازي‌الاضلاع» بوده و اضلاع مقابل با يكديگر برابر خواهند بود. در نتيجه رابطه‌ي 2 برقرار خواهد بود.

اما اگر  چهارضلعي محدب باشد رابطه‌ي  نشان مي‌دهد نقاط  ، ، و  بر روي يك دايره قرار مي‌گيرد و بنابراين داريم:

در اين حالت مطمئناً رابطه‌هاي ذيل برقرار نخواهد بود:

(رابطه‌‌ي 4)

اگر از زواياي  كسينوس بگيريم خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 5)

بنابراين خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 6)

به‌طور مشابه اگر از زواياي  كسينوس بگيريم خواهيم داشت:

و بنابراين رابطه‌ي ذيل حاصل مي‌شود:

(رابطه‌‌ي 8)

اگر ،  و  را به‌صورت ذيل تعريف كنيم:

و رابطه‌ي 9 را در رابطه‌هاي 6، 7 و 8 قرار دهيم خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 10)

در رابطه‌هاي 10 اگر هر يك از مقادير  يا  برابر «صفر» باشد ديگري نيز «صفر» خواهد بود.

اما اگر  و  برابر «صفر» باشند و داشته باشيم:

بنابراين خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 12)

از سوي ديگر اگر نه  نه  برابر «صفر» نباشند نتيجه خواهيم گرفت:

(رابطه‌‌ي 13)

و در نتيجه خواهيم داشت:

(رابطه‌‌ي 14)

بنابراين خواهيم داشت:

	-
	يا
	-

در هر حالت از قضيه‌ي «پتولمي» (Ptolemy's Theorem) استفاده مي‌كنيم.

استفاده از اين قضيه نشان مي‌دهد كه:

اما اگر فرض شود نقاط  ، ، و  بر روي يك صفحه قرار نداشته باشند بنابراين لازم است رابطه‌ي 4 برقرار باشد.