زنگ‌تفریح شماره ۱۵۳
اگر اعداد طبیعی را به دو دسته‌ی مربع‌ها و نامربع‌ها تفکیک کنیم، دو دنباله‌ی مکمل به‌دست می‌آوریم:
F(n) : ۱, ۴, ۹, ۱۶, ۲۵, …
G(n) : ۲, ۳, ۵, ۶, ۷, ۸, …
سوال این است که جمله‌ی عمومی دنباله‌ی (G(n چیست؟ به عبارتی فرمولی برای بیان n-اُمین عدد نامربع بیابید.
برای پیدا کردن این جمله‌ی عمومی ابتدا به تعریف زیر نیاز داریم:
فرض کنیم (f(n یک دنباله‌ی غیرنزولی از اعداد صحیح نامنفی باشد. قرار می دهیم:
روشن است که *f چیزی نیست جز تابع فراوانی f یعنی تعداد مقادیر m که به ازای آن‌ها، f مقادیری کوچک‌تر از n اختیار می‌کند. نتیجه‌ی شگفت‌آور این است که اگر با *f شروع کنیم و توزیع فراوانی آن را به دست بیاوریم، دنباله‌ی اصلی f به دست می‌آید. یعنی (f*)*=f . (درستی این موضوع را تحقیق کنید).
حال برای یافتن فرمول مورد نظر خود برای بیان n-اُمین عدد نامربع اولین کاری که باید انجام دهیم عبارت است از تشکیل دنباله‌های وارون f و *f به صورتی که در بالا تعریف شدند.
هرگاه فرمولی برای f*(n) داشته باشیم، بلافاصله فرمول
برای n-اُمین عدد نامربع به‌دست می‌آید. برای رسیدن به این نتیجه، تعریف f*(n) را در نظر می‌گیریم:
هم‌چنین داریم
که در آن F(m)= m2 دنباله‌ی مربع‌های کامل است. در نتیجه
دنباله‌ی اعداد صحیح m2-m = m(m-1) به ازای m = 1,2,3,… صعودی است، پس تعداد اعداد صحیح m به قسمی که m2-m2-m
چون m و n اعداد صحیح هستند. بزرگترین m-ی که در m2- m < n صدق کند بزرگترین m-ی است که در
صدق کند. ( در واقع هر دو نابرابری در m2-m≤n-1 هم‌ارزند) در نتیجه، تعدادی که می‌خواهیم آن‌را بیابیم، بزرگترین جواب نامعادله‌ی زیر است:
این نامعادله با نامعادله‌ی
و در نتیجه با
و با
اما بزرگترین m ای که کوچک‌تر از باشد، بنابر تعریف برابر است با
، یعنی تابع بزرگترین عدد صحیح. پس فرمولی برای n-اُمین عدد نامربع این است:
به آسانی معلوم می‌شود که نزدیک‌ترین عدد صحیح به n√ است. اگر این عدد را با 
نشان دهیم آن‌گاه خواهیم داشت:
