آن‌چه كه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.
ياداوري – منظور از ، عبارت از تعداد مجموعه‌هاي شيء است كه مي‌تواند از مجموعه‌اي از شيء تشكيل شود.
فرض كنيد بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشتركي باشد كه به‌دنبال يافتن آن هستيم. نشان خواهيم داد كه:
(رابطه‌ي 1)
مرحلهي اول – بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك بر بخشپذير است.
براي اثبات از «فرمول چندجمله‌اي» استفاده مي‌كنيم:
(رابطه‌ي 2)
(رابطه‌ي 3)
با كم كردن رابطه‌ي 3 از رابطه‌ي 2 خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 4)
بنابراين بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك از بايد بر جمع آن‌ها يعني بخشپذير باشد. همان‌طور كه فرض شده بود.
مرحلهي دوم – چون بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك بايد بر بخشپذير باشد اثبات مي‌كنيم كه يا 1 است يا 2.
مرحلهي سوم – براي «زوج» است.
براي اثبات از اتحاد ذيل استفاده مي‌كنيم:
(رابطه‌ي 5)
در اين صورت خواهيم داشت:
(رابطه‌ي 6)
از آن‌جايي كه سمت راست رابطه‌ي 6 عددي «صحيح» و «زوج» است و اين در حالي است كه هميشه «فرد» است نتيجه مي‌گيريم كه بايد «زوج» باشد. بنابراين همه‌ي ضرايب چندجمله‌اي ما «زوج» خواهد بود.
در نتيجه چون بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك برابر 2 خواهد بود همان‌طور كه ادعا كرده بوديم.
در مرحلهي 3 از روابطي استفاده كرديم كه به‌وسيله‌ي يك اتحاد آشنا به‌دست آورده‌ايم:
(رابطه‌ي 7)
يا اين‌كه مي‌توانيم از «استدلال كميته‌اي» استفاده كنيم:
براي انتخاب كميته‌اي عضوي با يك رئيس مي‌توانيم يكي از عضو را (با يكي از روش) برگزينيم و سپس رئيس را از ميان آن‌ها انتخاب كنيم يا اين‌كه مي‌توانيم رئيس را از تمام اعضاي گروه ( نفر) برگزينيم و سپس عضو آن گروه را از عضو آن گروه انتخاب نماييم.
به‌جاي راه‌حل مرحلهي اول مي‌توان از راه ديگري نيز استفاده كرد. از آن‌جايي كه داريم:
اين رابطه نشان مي‌دهد كه ، و به‌ترتيب بر 7، 9 و 11 بخشپذير نيستند.
نتيجه‌‌هايي كلي‌تر از اين استدلال مي‌توان به‌دست آورد:
نتيجه‌ي الف براي عدد «فردي» نظير: ، بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك برابر است.
نتيجه‌ي ب اگر عددي اول باشد و عدد صحيح ثابتي فرض شود كه نسبت به «اول» است بزرگ‌ترين مقسوم‌عليه مشترك اعداد به‌شكل است كه در آن:
نسبت به اول است.
براي اثبات نتيجه‌ي ب، كافي است در مرحلهي اول بگوييم: اگر يك مقسوم‌عليه و بزرگ‌ترين توان باشد كه بر بخشپذير است پس بر بخشپذير نخواهد بود. مي‌توانيد خودتان اين اثبات را ادامه داده به نتيجه برسانيد.