(رابطه‌ي 1)

از آن‌جايي كه  داريم:

بنابراين  بر هر يك از اعداد  بخش‌پذير نيست.

اما از آن‌جايي كه  عدد اول است بر  بخش‌پذير نيست؛ بنابراين  نيز اين‌گونه است.

اكنون عدد مركب ،  را درنظر بگيريد كه در رابطه‌ي 3 صدق كند. توجه كنيد كه  بنابراين داريم:

و بنابراين داريم:

 را بزرگ‌ترين عدد اول مقسوم‌عليه  درنظر بگيريد لذا داريم:

بدين‌ترتيب سه حالت ممكن است اتفاق بيافتد:

حالت اول -

در اين حالت داريم:

(رابطه‌ي 8)

بنابراين خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 9)

(رابطه‌ي 10)

بنابراين  و  اعداد صحيح مجزا هستند كه هر دو از  كوچك‌تر هستند.

لذا داريم:

به‌عبارت ديگر  بر  بخش‌پذير است.

 حالت دوم -

اگر از رابطه‌ي 7 و 3 داريم:

از آن‌جايي كه  بزرگ‌ترين عدد اول كوچك‌تر از  است بنابراين داريم:

بنابراين خواهيم داشت:

به‌علت اين‌كه  واضح است كه داريم:

بنابراين  و 2 اعداد صحيح مجزايي كوچك‌تر از  هستند.

لذا بر  بخش‌پذير است.

 حالت سوم -

وقتي باشد  رابطه‌ي ذيل را ثابت مي‌كنيم:

از برهان خلف استفاده مي‌كنيم به‌عبارت ديگر فرض مي‌كنيم رابطه‌ي 16 برقرار نباشد در اين صورت داريم:

(رابطه‌ي 17)

بنابراين داريم:

(رابطه‌ي 18)

هم‌چنين از آن‌جايي كه داريم:

بنابراين خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 20)

اگر  تناقض به‌وجود خواهد آمد.

اگر  يا  بنابراين از اين‌كه:  و نتيجه مي‌گيريم:

و بنابراين خواهيم داشت:

اما مي‌دانيم:

و اين با فرض ‌در تناقض است.

بنابراين  و  اعداد حقيقي متمايز و كوچك‌تر يا مساوي بوده و  بنابراين حاصلضرب‌شان  بر بخش‌پذير است.

(رابطه‌ي 1)

از آن‌جايي كه  داريم:

بنابراين  بر هر يك از اعداد  بخش‌پذير نيست.

اما از آن‌جايي كه  عدد اول است بر  بخش‌پذير نيست؛ بنابراين  نيز اين‌گونه است.

اكنون عدد مركب ،  را درنظر بگيريد كه در رابطه‌ي 3 صدق كند. توجه كنيد كه  بنابراين داريم:

و بنابراين داريم:

 را بزرگ‌ترين عدد اول مقسوم‌عليه  درنظر بگيريد لذا داريم:

بدين‌ترتيب سه حالت ممكن است اتفاق بيافتد:

حالت اول -

در اين حالت داريم:

(رابطه‌ي 8)

بنابراين خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 9)

(رابطه‌ي 10)

بنابراين  و  اعداد صحيح مجزا هستند كه هر دو از  كوچك‌تر هستند.

لذا داريم:

به‌عبارت ديگر  بر  بخش‌پذير است.

 حالت دوم -

اگر از رابطه‌ي 7 و 3 داريم:

از آن‌جايي كه  بزرگ‌ترين عدد اول كوچك‌تر از  است بنابراين داريم:

بنابراين خواهيم داشت:

به‌علت اين‌كه  واضح است كه داريم:

بنابراين  و 2 اعداد صحيح مجزايي كوچك‌تر از  هستند.

لذا بر  بخش‌پذير است.

 حالت سوم -

وقتي باشد  رابطه‌ي ذيل را ثابت مي‌كنيم:

از برهان خلف استفاده مي‌كنيم به‌عبارت ديگر فرض مي‌كنيم رابطه‌ي 16 برقرار نباشد در اين صورت داريم:

(رابطه‌ي 17)

بنابراين داريم:

(رابطه‌ي 18)

هم‌چنين از آن‌جايي كه داريم:

بنابراين خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 20)

اگر  تناقض به‌وجود خواهد آمد.

اگر  يا  بنابراين از اين‌كه:  و نتيجه مي‌گيريم:

و بنابراين خواهيم داشت:

اما مي‌دانيم:

و اين با فرض ‌در تناقض است.

بنابراين  و  اعداد حقيقي متمايز و كوچك‌تر يا مساوي بوده و  بنابراين حاصلضرب‌شان  بر بخش‌پذير است.