اشاره
آنچه كه با عنوان «چكيده» در اول مسابقهها و زنگ تفريحها مشاهده ميكنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقهمندان است.
«پافنوتي لوويچ چبيشف»(Pafnuty Lvovich Chebyshev)
مقدمهي جواب
ابتدا لازم است از «اصل برتراند» و «قضيهي چبيشف» برايتان بگوييم: «براي هر عدد صحيح حداقل يك عدد اول بين و موجود است».
يا بهقول رياضيداني بهنام «ن. ج. فاين» (N. J. Fine):«چبيشف» اين مطلب را گفت ولي من آن را دوباره ميگويم؛ هميشه يك عدد اول بين و وجود دارد.
براي كسب اطلاعات بيشتر راجع به اين اصل و قضيه ميتوانيد به وبسايتها بهنشاني ذيل و يا متون استاندارد «نظريهي اعداد» مراجعه فرماييد:http://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.htmlhttp://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate
http://mathworld.wolfram.com/BertrandsPostulate.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate
ابتدا يك مثال سادهاي بزنيم تا براي بحث در مورد جواب انگيزهي لازم را داشته باشيم:
فرض كنيد ميخواهيم اعداد 1 تا 8 را بهصورت زوجهاي مرتبي دراوريم كه جمع هر دو عدد «اول» باشد.
ياداوري ميكنيم كه بين 8 تا 15 دو عدد اول وجود دارد كه عبارتاند از: 11 و 13. عدد 13 را در نظر ميگيريم. جمع زوجهاي برابر عدد 13 است. بدينترتيب تمام اعداد در زيرمجموعهي 5 تا 8 را بهطور كامل استفاده كردهايم.
بنابراين كافي است زوجهاي باقيمانده از اعداد 1 تا 4 را بيابيم.
اين مثالي است از اينكه يك «استدلال استقرايي» چگونه در حل مسائل ميتواند مفيد باشد.
جواباما براي حل مسألهي اصلي از «استقرا» استفاده ميكنيم:
جواب
براي شروع اثبات از طريق «استقرا»، ابتدا از حالت (با اعداد صحيح 1 و 2) آغاز ميكنيم. بهسادگي درمييابيم براي و جمع اعداد 1 و 3 خواهد شد كه عددهايي اول هستند.
سپس اثبات ميكنيم كه حكم براي از 1 تا نيز صادق است. بهعبارت:
«فرض كنيد براي هر از 1 تا اعداد صحيح ميتواند به زوجهايي نظير: تقسيم شود بهگونهاي كه براي هر جمع دو عدد يعني: عددي «اول» باشد.
از فرض براي حالت استفاده ميكنيم. يعني بايد زوج اعداد از 1 تا داراي اين ويژگي باشند. با استفاده از «اصل برتراند» مطمئن هستيم بين و عدد اولي نظير: وجود دارد.
لذا داريم:
(رابطهي 1)
از رابطهي 1 رابطهي ذيل را درمييابيم:
(رابطهي 2)
لذا زوجهاي ذيل داراي جمع هستند:
(رابطهي 3)
توجه كنيد كه جمع ارقام هر زوج همان عدد بوده و همهي اعداد صحيح از تا استفاده شدهاند.
از آنجايي كه و نهايتاً نيز اعدادي «زوج» هستند فرض استقرا ميتواند براي زوجهاي اعداد از 1 تا نيز بهكار رفته و بدينترتيب حكم ثابت ميشود.