«مثلث خیام» مثلثی است که در زبان‌های گوناگون نام‌های دیگری نیز دارد؛ در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال» (Pascal's Triangle)، ایتالیایی «مثلث تارتالیا» (Tartaglia's Triangle) و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» (Yang Hui's Triangle) نام گرفته است.
در آثار متون سانسکریت ریاضیدان هندی «پینگالا» (Pingala) نشانه‌هایی از استفاده از این بسط دیده می‌شود.
در همان دوران «عمر خیام» ریاضیدان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به‌دست آوردن ضرایب بسط دوجمله‌ای می‌کند.
.jpg)
|
شکل 1. |
در آن زمان «مشکلات الحساب» - کتابی که اثبات این ادعا در آن آمده - هنوز کشف نشده بود ولی متأثر از «عمر خيام» در آثار «خواجه نصيرالدين طوسی» مي‌توان ضرايب بسط دوجمله‌اي تا توان 12 را مشاهده كرد.
در قرن ۱3 میلادی در آثار «یانگ هویی» (Yang Hui) ریاضیدان چینی، بسط دوجمله‌اي به شکل مثلث ديده مي‌شود.
.jpg)
|
شکل 2. |
در قرن ۱۶ میلادی ریاضیدان ایتالیایی «تارتالیا» (Niccolò Fontana Tartaglia) هم كاربردهايي از اين مثلث را بيان كرد. پس از یک قرن «پاسکال» ریاضیدان فرانسوی هم‌دوره با «نیوتون» روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد و به‌همین دلیل بیش‌تر به «مثلث پاسکال» (Pascal's Triangle) معروف است؛ علیرغم اینکه مجموعه اعدادی که مثلث را میسازند قبل از خود «پاسکال» شناخته شدند اما او بود که بسیاری از کاربردهای آن را گسترش داده و «مثلث پاسکالي» ساخته شد (شكل 3).
 |
شکل 3. |
در زنگ تفریح شمارهی 17 المپیاد ریاضی هم میتوانید در این مورد مطلبی را مطالعه کنید:
http://old.roshd.ir/Default.aspx?tabid=290&EntryID=667
اما آن‌چه خیام ادعا کرد ضرایب بسط دوجمله‌ای بود.
مثلا بسط ذیل را در نظر میگیریم:
همانطور که میدانیم .gif)
برابر است با:.gif)
و این همان عنصر .gif)
ام در سطر.gif)
است (سطرها و عناصر هر سطر با شروع از صفر شمارهگذاری شدهاند) و با توجه به «قانون پاسکال» (Pascal's Rule) درک می‌شود:
و مثلث را به صورت (شکل 4) میسازیم:
.jpg) |
شکل 4. |
با توجه به آن‌چه در مورد عناصر هر سطر گفته شد به‌سادگی میتوان دریافت مجموع عناصر سطرام در مثلث برابر است با: .gif)
زیرا میدانیم که رابطه‌ي ذيل برقرار است: