زنگ تفریح شماره 100
عدد پلاستيكي كمي به عدد معروف طلايي مرتبط است. حتماً شما مي‌دانيد اعداد فيبوناچي چطور يك سيستم مارپيچ مربع‌ها را كه با عدد طلايي مرتبط است را مي‌سازد. براي عدد پلاستيكي نيز شبيه يك نمودار مارپيچ است كه تركيبي از مثلث‌هايي با اضلاع برابر است.
در نمودار زير، مثلث اوليه به رنگ سياه است و مثلث‌هاي متوالي بعدي به شكل مارپيچ و در جهت عقربه‌هاي ساعت هستند. براي ساختن شكل‌هاي مناسب، طول اضلاع اولين مثلث را 1 در نظر مي‌گيريم، دومين مثلث را 2 و به ترتيب 4، 5 ، 7 ، 9 ، 12 ، 16 ، 21 در نظر مي‌گيريم.
يك قانون ساده براي بدست آوردن اين اعداد وجود دارد. مانند اعداد فيبوناچي، هر عدد مجموع عدد قبل است (به غير از يك) با عدد قبل از آن. براي مثال:
12 ¼ 7 þ 5; 16 ¼ 9 þ 7; 21 ¼ 12 þ 9
اين الگو از روشي پيروي مي‌كند كه مثلث‌ها در كنار هم قرار گرفته‌اند. اگر Pn ، n امين عدد باشد ( از P0¼P1¼P2¼1 شروع مي‌شود) سپس:
Pn¼Pn 2þPn 3
پس به اين ترتيب 20 عدد اول برابر مي‌شود با:
1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 5; 7; 9; 12; 16;
21; 28; 37; 49; 65; 86; 114; 151
اين جمله، «اعداد پادووان» (Padovan Number) نام گذاشته شده است. اين نام‌گذاري به نام مهندس «ريچارد پادووان» (Richard Padovan) بوده است. او مي‌گويد: عدد پلاستيكي كه من آن‌را با p نشان مي‌دهم تقريباً برابر 1.324718 است. همان‌طور كه عدد طلايي به اعداد فيبوناچي مربوط هستند، عدد پلاستيكي نيز به اعداد «پادووان» مرتبط است و آن، اين است كه نسبت متوالي «اعداد پادووان» مثل 49/37 يا 151/114 تقريب نسبتاً‌خوبي براي بدست آوردن عدد پلاستيكي است.
الگوي جمله عمومي اعداد «پادووان» ما را به سمت معادله p3p 1 ¼ 0,سوق مي‌دهد و p يك جواب حقيقي اين معادله است. اعداد «پادووان» بسيار آهسته‌تر از اعداد فيبوناچي افزايش پيدا مي‌كنند و به اين دليل است كه p از f كوچكتر است. الگوهاي بسيار جالبي در جمله «پادووان» وجود دارد. براي مثال، نمودار نشان مي‌دهد كه 21 ¼ 16 þ 5 زيرا مثلث‌هاي مجاور، با هم محاسبه مي‌شوند و به همين ترتيب داريم: 16 ¼ 12 þ 4; 12 ¼ 9 þ 3
پس در كل خواهيم داشت:
Pn¼ Pn1þPn5