زنگ‌تفریح شمارهٔ ۱۷۱
در عالم ریاضیات فضاهایی وجود دارند که انحنای آنها منفی است. برای آنکه تعریف و ذهنیت بهتری نسبت به فضا پیدا کنیم به معرفی ساده‌ترین فضاها یعنی فضاهای یک بعدی و دو بعدی می‌پردازیم و در مورد انحنای آنها توضیح می‌دهیم. اغلب فضاهای یک بعدی را می‌توان به شکل منحنی در فضا دید که به کمک آنها می‌توانیم از فضاهای با بعد بالاتر (دو، سه و ...) درک بهتری داشته باشیم. در این زنگ تفریح قصد داریم رویه‌های با انحنای منفی را معرفی کنیم. مفهوم انحنا برای اندازه‌گیری خمیدگی (یا اندازه غیر تخت بودن) فضاهای مختلف به وجود آمده است. برای مثال صفحه R2 به عنوان زیرمجموعه‌ای (رویه دو بعدی) از R3 (فضای سه بعدی اقلیدسی) است. این تخت بودن یعنی، در صفحه R2 هیچ پستی یا بلندی‌ای مشاهده نمی‌شود (هیچ خمیدگی‌ای در صفحه وجود ندارد). به عنوان مثالی دیگر، کره توخالی S با شعاع ۱ را به عنوان زیرمجموعه R3 در نظر بگیرید. این کره در هر نقطه‌اش انحنای ۱ دارد (یعنی به اندازه ۱ واحد خمیده شده است). به زودی مفهوم انحنا را دقیق‌تر تعریف خواهیم کرد.
انحنای یک منحنی
فرض کنید R→R2:∝ یک منحنی (خم) باشد. انحنای این منحنی در نقطه (p=∝(t0 برابر است با ۱ تقسیم بر شعاع دایره بوسان منحنی در نقطه p. دایره بوسانِ یک منحنی، یک دایره مماس بر منحنی در نقطه p است که در جهت خمیده شدن منحنی قرار دارد و خط مماس بر منحنی در نقطه p با خط مماس بر دایره در این نقطه یکی است. این دایره به اندازه کافی کوچک است تا بتوانیم نقاط روی منحنی بسیار نزدیک به نقطه p را روی این دایره تصور کنیم. با محاسبات نه چندان سخت می‌توان نشان داد که در هر نقطه از منحنی فقط یک دایره بوسان وجود دارد.
انحنای خط راست صفر است. سعی کنید دلیل این امر را با استفاده از تعریف دایره بوسان تحقیق کنید. همچنین انحنای یک دایره همیشه برابر است با (شعاع دایره)/۱.
رویه
منظور از رویه S در R3 ، زیرمجموعه‌ای است که شبیه صفحه است. یعنی می‌توانیم آن را بین دو انگشت، مانند یک ورقه کاغذ لمس کنیم و فرض می‌کنیم ضخامت این صفحه برابر با صفر است.
انحنای رویه‌ها
برای انحنای رویه‌ها از مفهوم انحنای منحنی، دایره بوسان و جهت روی رویه استفاده خواهیم کرد. همانطور که در مورد منحنی دیدید، انحنا مفهومی کاملا وابسته به نقطه است؛ یعنی ممکن است انحنای یک خم در نقاط متفاوت، متغیر باشد. فرض کنید S یک رویه جهتدار باشد. یعنی روی هر نقطه از S یک بردار عمود قرار داده شده باشد. این بردار را بردار جهت در آن نقطه می‌نامند. رویه‌های که درون و بیرون‌شان قایل تشخیص است یا رویه‌هایی که پشت و روی آنها را می‌توان مشخص کرد، رویه‌های جهتدار هستند. مثلا صفحه، کره و بیضی‌وار جهت‌دارند. برای مشاهده رویه‌هایی که جهت ندارند یا به اصطلاح پشت و رو یا درون و بیرون‌شان مشخص نیست، نوار مبیوس و بطری کلاین را ببینید.
برای نقطه p در رویه S فرض کنید، یک صفحه به صورت عمود بر S (شامل بردار جهت) از نقطه p بگذرد. به عبارت دیگر ما رویه S را با یک صفحه عمود در نقطه p برش می‌دهیم. حاصل این برش (اشتراک صفحه و S) یک منحنی است که از نقطه p می‌گذرد. حال شما می‌توانید با استفاده از دایره بوسان انحنای این منحنی را در p به دست آورید.
صفحات بیشماری رویه را در نقطه p به طور عمود برش می‌دهند. پس می‌توانیم برای برش آن صفحات هم، دایره بوسان و انحنا را حساب کنیم.
اگر دایره بوسان یک منحنی با بردار جهت p هم‌جهت باشد، انحنای روی این منحنی را با علامت مثبت در نظر می‌گیریم. اگر دایره بوسان روی یک منحنی در خلاف جهت بردار جهت p باشد، انحنای روی این خم روی با علامت در نظر می‌گیریم.
بیشترین مقدار انحنای مثبت در نقطه p روی رویه را با K1 و کمترین مقدار را با K2 نمایش می‌دهیم و آنها را انحناهای اصلی S در نقطه p می‌نامیم. انحنای (انحنای گاوسی) رویه S در نقطه p را با حاصلضرب انحناهای اصلی در این نقطه تعریف می‌کنیم و آن را با K نشان می‌دهیم.
K=K1K2
حال اگر در یک نقطه، K1 مثبت و K2 منفی باشد، آنگاه انحنای رویه در آن نقطه K= K1K2 منفی می‌شود. احتمالا شما به این فکر می‌کنید که منفی بودن انحنای یک رویه کاملا بی معنی است و اصلا چیز درستی به نظر نمی‌رسد. برای اینکه تفسیر درستی از انحنای منفی داشته باشیم به بررسی دو مثال از با انحناهای مثبت و منفی می‌پردازیم.
بیضی‌وار
فرض کنید S یک بیضی‌وار و p نقطه دلخواهی از آن باشد. این رویه یک جهت دارد. چون می‌توانیم درون و بیرون آن را از هم تشخیص داده و جدا کنیم. فرض کنید جهتِ رو به بیرون بیضی‌وار را در نظر گرفته‌ایم. همه صفحاتی که به طور عمود این رویه را در نقطه p برش می‌دهند، منحنی‌هایی به وجود می‌آورند که دایره بوسانشان داخل بیضی‌وار قرار می‌گیرد. بنابراین همه دایره‌های بوسان در جهت عکس جهت بیضی‌وار هستند و در نتیجه همه مقادیر انحناهای منحنی‌های گذرنده از نقطه p منفی است و به ویژه بیشترین و کمترین انحناها نیز منفی هستند پس انحنای بیضی‌وار در نقطه p که حاصلضرب دو عدد منفی است مثبت خواهد بود. این مساله به ما نشان می‌دهد که در نقطه p بیضی‌وار فقط در یک جهت خمیده شده‌است (به داخل).
نقطه زینی
شکل زیر قسمتی از یک رویه هذلولوی‌وار است. نقطه قرمز را نقطه زینی این رویه گویند (احتمالا به خاطر اینکه خیلی شبیه زین اسب است).
همانطور که در شکل‌های قبلی دیدیم این رویه جهتدار است. فرقی نمی‌کند جهت آن را رو به بالا در نظر بگیرید با پایین. فرض کنید جهت رو به بالا باشد. می‌بینید که دایره بوسانِ بعضی از منحنی‌هایی که از نقطه p می‌گذرند رو به پایین و بعضی دیگر رو به بالا هستند. پس انحنای این فضا در نقطه زینی منفی است. اما تفسیر منفی بودن انحنا؛ در شکل بالا می‌بینید که نمی‌توانیم به سادگی جهت خم شدن رویه را مشخص کنیم. اگه شکل بالا را یک زین فرض کنیم، می‌بینیم که وقتی از پشت زین رو به جلو حرکت می‌کنیم خمیدگی رو به بالا (مثبت) است و وقتی از یک پهلو به سمت پهلوی دیگر حرکت می‌کنیم خمیدگی رو به پایین (منفی) است. بنابراین می‌بینید که انحنای منفیِ رویه بیانگر آن است که؛ با تغییر جهت حرکت روی رویه خمیدگی تغییر جهت (علامت) خواهد داد.
رویه‌های با انحنای منفی بسیار پر کاربرد بوده و امروزه در مهمترین مسائل روز از جمله فیزیک، اقتصاد و علوم مهندسی از آن استفاده می‌شود.
منابع:
تاب و انحنا
هندسه نااقلیدسی و انحنای فضا
curvature
principal curvature