مسابقهي دانشجويي!
اشارهآنچه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ‌تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.
چكيدهاهداف آموزشي اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي – دانش - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها و روش‌شناسي» اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني - «فهميدن» > «ترجمه» > «تفسير» - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه اقدام‌هاي پيشنهادي» - «فهميدن» > «ترجمه» > «تركيب» > «كاربستن» - «فهميدن» > «ترجمه» > «تحليل» > «تحليل عناصر» نتايج مورد نظر - آشنايي با احتمال - روش حل مسأله با احتمال محتواي آموزشي - احتمال
سؤالچهار دانشجو به‌نام‌هاي بهرام، آيدين، فرهاد و سعيد در مسابقه‌اي با جايزه‌اي نفيس شركت مي‌كنند. مسابقه به‌صورت ذيل برگزار ميشود:
افراد يك به يك به اتاقي هدايت مي‌شوند كه در آن چهار جعبه وجود دارد كه از 1 تا 4 شماره‌گذاري شده است. حروف «ب»، «الف»، «ف» و «س» بر روي چهار كارت به‌گونه‌اي نوشته شده است كه هر كارت تنها و تنها شامل يك حرف از حروف چهارگانه‌ي مذكور است. كارت‌ها به‌صورت تصادفي در داخل جعبه‌ها قرار داده شده‌اند به‌گونه‌اي كه در هر جعبه يك و تنها يك كارت وجود دارد.
به هر دانشجو اجازه داده ميشود كه كارت داخل دو جعبه را ببيند. دانشجويي كه كارتي را مشاهده مي‌كند كه اولين حرف نام خود بر روي آن نوشته شده باشد «موفق» ناميده ميشود.
اگر همه‌ي چهار دانشجو «موفق» باشند «گروه» اين مسابقه را مي‌برد. اگر يك يا چند دانشجو «موفق» نباشند «گروه» مسابقه را باخته است.
توافق شده است قبل از اين‌كه دانشجوي اول هر گروه وارد اتاق شود همه‌ي اعضاي گروه بتوانند با يكديگر بر سر راهكاري به‌توافق برسند. اما به‌محض اين‌كه يك دانشجو وارد اتاق ميشود اعضاي گروه ديگر مجاز به ارتباط – چه از طريق كلامي و چه با اشاره – نيستند.
علاوه بر آن، دانشجوياني كه در اتاق نبوده‌اند راهي براي دانستن اين موضوع ندارند كه آيا دانشجويان قبلي «موفق» بوده‌اند يا خير.
هر دانشجويي كه در جلوي دو جعبه مي‌ايستد داراي احتمال «موفقيت» 50 درصد بوده و احتمال «برنده شدن» گروه مذكور 25/6 درصد است.
اكنون راهكاري به گروه پيشنهاد كنيد كه احتمال «بردن» بيش از 40 درصد باشد.
ابتدا دانشجويان رابطه‌اي بين حرف اول نام‌شان و جعبه‌ها برقرار مي‌كنند تا در انتخاب ترتيب جعبه‌ها ابهامي وجود نداشته باشد. سپس هر دانشجو ابتدا به داخل جعبه‌اي كه با حرف اول نامش ارتباط دارد نگاه مي‌كند:
- اگر كارت داخل جعبه با حرف اول نامش تطبيق داشته باشد «موفق» بوده و بدين‌ترتيب مي‌تواند مسابقه را ادامه ندهد.
- اگر كارت داخل جعبه با حرف اول نامش تطبيق نداشته باشد بعد از آن به جعبه‌اي نگاه مي‌كند كه با حرف اول نامش يكي باشد.
به‌عنوان مثال:
فرض كنيد «بهرام» ابتدا به داخل جعبه‌اي نگاه مي‌كند كه حرف روي كارت «ب» است؛ بدين‌ترتيب زماني «موفق» ميشود كه كارت‌هاي داخل چهار جعبه در يكي از شش وضعيت ذيل باشد:
- ب‌ف‌س‌الف
«بهرام» اگر در اولين انتخاب خود با حرف «ب» مواجه نشود ممكن است حرف انتخابي وي «الف» يا «ف» يا «س» باشد.
در اين صورت «بهرام» در وضعيت‌هاي ذيل «موفق» خواهد شد:
يا
بين 12 جايگشت مطلوب براي «بهرام»، تنها دو تا يعني ب‌ف‌س‌الف و ب‌س‌الف‌ف براي «آيدين» هم مناسب است. خوشبختانه ده‌تاي باقي‌مانده منجر به «موفقيت» «فرهاد» و «سعيد» ميشود به‌گونه‌اي كه «گروه» با 10 تا از جايگشت‌هاي حروف «برنده» خواهد شد.
از آن‌جايي كه تعداد جايگشت‌هاي محتملاً برابر است احتمال (برحسب درصد) اين‌كه «گروه» «برنده» شود از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 1)
در اين‌جا نياز به دو توضيح است:
الف – اين مسأله توضيحي ساده از اهميتي است كه معمولاً با استفاده از همه‌ي اطلاعات قابل‌دسترس مي‌توان احتمال تصميم درست را بالا برد. همان‌طور كه از جمله‌هاي صورت مسأله مي‌توان فهميد اگر دانشجويان از اطلاعاتي كه از اولين فرصت ناشي ميشود استفاده نكنند احتمال «موفقيت» از 67/41 به 25/6 درصد كاهش مي‌يابد.
اين حالت را از لحاظ آماري با موقعيتي مقايسه كنيد كه بر پايه‌ي آن تصميم‌گيري به‌جاي استفاده از همه‌ي اطلاعات قابل‌دسترس بر «متوسط‌ها» بنا نهاده شده باشد.
به‌عنوان مثالخيلي از ما با اين راهكار متعجب مي‌شويم كه با هواپيمايي پرواز مي‌كنيم كه صندلي‌هايش به‌نظر براي آدم‌هاي متوسط طراحي شده بدون اين‌كه رعايت توزيع اندازه‌ي آدم‌ها گرديده باشد. افسوس كه اين ميانگين كه در ساخت صندلي‌هاي هواپيما استفاده ميشود مربوط به قرني بوده است كه مردم كوچك‌تر بوده‌اند!
بعضي‌ها در مواجهه با اين نوع مسائل، كلي‌تر فكر مي‌كنند يعني تعداد افراد را بيش از چهار در نظر مي‌گيرند؛ در اين صورت تشكيل فهرست از لحاظ عملي غيرممكن به‌نظر مي‌رسد.
اولين دانشجو هم‌چنين زماني مي‌تواند «موفق» باشد كه اولين جعبه وي را به جعبه‌اي رهنمون كند كه حرف اول نام وي بر روي كارت درون آن قرار گرفته است.
در اين صورت «برنده شدن» «گروه» با جايگشت محقق خواهد شد ( جايگشت براي هر حرف ممكن بر روي كارت داخل جعبه). احتمال اين‌كه «گروه» با دانشجو «موفق» باشد از رابطهي ذيل به‌دست خواهد آمد:
(رابطهي 2)
مي‌دانيم و است لذا چند مقدار اول بدين‌صورت محاسبه خواهد شد:
(رابطهي 3)
احتمال اين‌كه «گروه» با دانشجو هر يك بتوانند به كارت درون جعبه نگاه كنند نيز قابل‌محاسبه است. راهكاري كه براي هر دانشجو پيشنهاد ميشود آن است كه با جعبه‌اي آغاز كند كه با نامش ارتباط دارد؛ سپس جعبه‌اي را با توجه نام پيدا شده (در جعبه‌ي قبلي) برگزيند و اين كار را ادامه دهد تا اين‌كه «موفق» شود يا در همه‌ي بار توفيقي به‌دست نياورد.
مي‌بينيم كه «گروه» تا زماني «برنده» ميشود كه جايگشت حروف اول نام‌ها در جعبه‌ها داراي حلقه‌اي با طول بزرگ‌تر از نباشد. با شمارش جايگشت‌ها با يا كم‌تر حلقه (با كامپيوتر) به‌راحتي با فرمول «بازگشتي» قابل انجام است.
به‌عنوان مثالاكنون فرض كنيد اعضاي گروه يكصد نفر بوده و مي‌خواهيم احتمال موفقيت را براي انتخاب بيابيم. در اين‌جا ساده‌تر است كه تعداد جايگشت‌هايي را بيابيم كه منجر به «موفقيت» نمي‌شود جايگشت‌هايي كه داراي حلقه‌اي با طول 50 يا بيش‌تر باشد. در اين صورت احتمال «موفقيت» از رابطهي ذيل محاسبه خواهد شد:
(رابطهي 4)
احتمال 31 درصد واقعاً قابل‌ملاحظه است زماني كه با عدم امكان نزديك شدن به «موفقيت» با «راهكار داراي تأثير كم‌تر» مقايسه ميشود.