مسائل و قضایای بسیاری در ریاضیات مطرح شده است که باوجود اینکه ساده به نظر می رسند، اما تاکنون حل نشده اند و از مسائل حل‌نشدنی به حساب می آیند. یکی از این مسائل ثابت نشده‌ در سال 1742 میلادی توسط کریستسان گلدباخ، ریاضیدان و تاریخ شناس اهل پروس عنوان شد. براساس حدس گلدباخ، هر عدد بزرگتر از پنج را می توان همواره به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.

اما بعدها ریاضیدان دیگری به نام لئونارد اویلر، حدس ‌گلدباخ را به صورت دیگری بیان کرد؛ به شکلی ظاهرا متفاوت که در واقع به لحاظ ریاضی با بیان گلدباخ هم‌ارز است و آن را حدس قوی گلدباخ نامید. براساس حدس قوی گلدباخ هر عدد زوج بزرگتر از دو را همواره می توان به صورت جمع دو عدد اول نوشت.

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5

جالب اینکه با گذشت بیش از 270 سال از این حدس حتی قوی ترین ابررایانه ها هم هیچ نقضی که صحت این حدس را زیر سوال ببرد، پیدا نکرده اند. و هنوز هیچ ریاضیدانی موفق به اثبات آن نشده است و اثبات حدس گلدباخ به یکی از چالش‌های مهم ریاضیدانان تبدیل شده است. در سال 1992 میلادی کتاب داستانی توسط یکی از موسسات انتشاراتی مشهور با عنوان عموپتروس و حدس گلدباخ منتشر شد که در آن تاریخ ریاضیات در قالب داستانی جذاب شرح داده شد. چند سال بعد از انتشارات آن برای تبلیغ و فروش بیشتر این کتاب جایزه‌ای یک میلیون دلاری برای کسی که از تاریخ 20 مارس 2000 حداکثر به مدت دو هفته موفق به اثبات حدس گلدباخ شود تعیین کردند. اما بعد از اتمام تاریخ و حتی پس از آن و تا کنون هم هیچ ریاضیدانی موفق به اثبات این حدس به ظاهر آسان نشده است. در سال 2008 توماس اولیوریااسیلوا، پژوهشگر دانشگاه اویرو در پرتغال، با کمک یک سیستم ابررایانه توزیع یافته توانست صحت حدس گلدباخ را تا 1017 ×18 نشان دهد. به تازگی ابررایانه‌های آزمایشگاه عظیم فیزیک ذرات بنیادی اروپا (سرن) هم وارد این میدان شدند تا صحت حدس گلدباخ را برای اعداد بزرگتر باز هم محک بزنند. البته هر چقدر هم که ابررایانه-ی قوی‌تر را در اختیار داشته باشیم باز هم قادر نخواهیم بود درستی حدس گلدباخ را برای تمامی اعداد بررسی کنیم و درنهایت چاره‌ای جز تلاش برای درستی این حدس نداریم.

تلاش های اثبات حدس گلدباخ

در سال 1966 چن‌جینگ‌ران، ریاضیدان چینی، ثابت کرد که هر عدد زوج به اندازه‌ی کافی بزرگ را می‌توان به صورت مجموع یک عدد اول و عدد دیگری که برابر حاصل ضرب دو عدد اول است. بنابراین دنیای ریاضیات یک قدم به اثبات درستی حدس گلدباخ نزدیک‌تر شد. در سال 1995 هم یک اولیور رامار، ریاضیدان فرانسوی ثابت کرد که هر عدد زوج بزرگتر یا مساوی 4 را می‌توان به صورت مجموع شش عدد اول نوشت. در سال ۱۹۳۱ اشنیرلمان (۱۹۰۵-۱۹۳۸) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود، موفقیت مهمی در این زمینه به‌دست آورد که برای همه ریاضیدانان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر عدد صحیح مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر ۳۰۰۰۰۰ عدد اول نمایش داد. هرچند این نتیجه در مقایسه با اثبات حدسیه گلدباخ خنده دار به نظر می‌رسد، اما این نخستین قدم در جهت حل آن بود. بعدا وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روشهای هاردی‌، لیتلوود و همکار هندی برجسته آن‌ها رامانوجان در نظریه تحلیلی اعداد‌، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از ۳۰۰۰۰۰ به چهار کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیک‌تر است، ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهمتر از اختلاف میان ۳۰۰۰۰۰ و ۴ باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه اعداد صحیح به اندازه کافی بزرگ ثابت شده است؛ به بیان دقیق‌تر، او ثابت کرد عدد صحیح N وجود دارد به طوری که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر ۴ عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای براورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و برخلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است.

در واقع، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر چهار عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو‌به‌رو هستیم. در ۱۹۱۹ ویگوبرون رویکرد متفاوتی با عنوان روش غربال مطرح کرد که تعمیمی از غربال اراتستن است. او ثابت کرد هر عدد صحیح زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد ، مجموع دو عدد است که هر کدام از آنها حاصل‌ ضرب حداکثر ۹ عدد اول هستند. در ۱۹۳۷ ریچی ثابت کرد هر عدد زوجی که به قدر کافی بزرگ باشد مجموع دو عدد است که یکی حاصل‌ ضرب حداکثر دو عدد اول و دیگری حاصل‌ ضرب حداکثر ۳۶۶ عدد اول است. کُن با بهره‌گیری از ایده‌های ترکیبیاتی بوخشتاب ثابت کرد هر عدد زوج به‌قدر کافی بزرگ مجموع دو عدد است که هر یک حاصل‌ضرب حداکثر چهار عدد اول است. در ۱۹۴۸ آلفرد بدون استفاده از صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد که هر عدد زوج به‌قدر کافی بزرگ مجموع یک عدد اول و حاصل‌ضرب حداکثر c که عددی ثابت و مجهول است ، عدد اول است. در ۱۹۵۷، ونگ یوان با فرض درست بودن صورت تعمیم یافته فرضیه ریمان ثابت کرد هر عدد صحیح زوج بقدر کافی بزرگ، مجموع یک عدد اول و حاصل‌ ضرب حداکثر سه عدد اول است. در ۱۹۶۱ باربن نشان داد که c = 9 برای این منظور کفایت می‌کند. در ۱۹۶۲، پان چنگ دونگ این مقدار را به c = 5 کاهش داد. مدت کوتاهی پس از آن باربن و پان، مستقل از هم، ‌آن را به c = 4 کاهش دادند. در ۱۹۶۵ بوخشتاب این قضیه را به ازای c = 3 کاهش داد. در ۱۹۶۶، چن‌جینگ‌ران، روش غربال را تصحیح کرد و قضیه را به ازای c = 2 اثبات کرد.