ثابت كنيد براي هر ، نابرابري ذيل برقرار است:

راهنمايي
اين مسابقه بيش از اين‌كه شبيه يك مسابقه باشه شبيه آب خوردنه‌!

براي جوابگويي به آن تنها كافي است كه فرض «استقرا» را درست قرار دهيد آن‌گاه با كمي ابتكار، مسابقه خود به خود حل مي‌شود!

اثبات مي‌كنيم:

(رابطه‌ي 3)



به‌ازاي  رابطه برقرار است.



فرض كنيم براي  برقرار باشد نشان مي‌دهيم براي  نيز درست است.



به‌ازاي  داريم:

(e عدد نپر است)

(رابطه‌ي 4)

(رابطه‌ي 5)

از طرفي فرض كرده‌ايم:

(رابطه‌ي 6)

و نتيجه مي‌دهد:

(رابطه‌ي 7)

بنابراين با استقرا سمت چپ نابرابري ثابت شد.

قسمت دوم نابرابري را نيز با استقرا ثابت مي‌كنيم:

به‌ازاي  رابطه برقرار است.



فرض كنيم براي  برقرار باشد بايد براي  برقرار باشد.

ابتدا نابرابري ذيل را ثابت مي‌كنيم:

(رابطه‌ي 9)

به‌ازاي :

براي  رابطه ثابت شد.

به‌ازاي  داريم:

بنابراين به‌ازاي  نيز نابرابري نشان داده شد. بنابراين نابرابري به‌طور كلي ثابت مي‌شود. لذا داريم:

ثابت كنيد براي هر ، نابرابري ذيل برقرار است:

راهنمايي
اين مسابقه بيش از اين‌كه شبيه يك مسابقه باشه شبيه آب خوردنه‌!

براي جوابگويي به آن تنها كافي است كه فرض «استقرا» را درست قرار دهيد آن‌گاه با كمي ابتكار، مسابقه خود به خود حل مي‌شود!

اثبات مي‌كنيم:

(رابطه‌ي 3)



به‌ازاي  رابطه برقرار است.



فرض كنيم براي  برقرار باشد نشان مي‌دهيم براي  نيز درست است.



به‌ازاي  داريم:

(e عدد نپر است)

(رابطه‌ي 4)

(رابطه‌ي 5)

از طرفي فرض كرده‌ايم:

(رابطه‌ي 6)

و نتيجه مي‌دهد:

(رابطه‌ي 7)

بنابراين با استقرا سمت چپ نابرابري ثابت شد.

قسمت دوم نابرابري را نيز با استقرا ثابت مي‌كنيم:

به‌ازاي  رابطه برقرار است.



فرض كنيم براي  برقرار باشد بايد براي  برقرار باشد.

ابتدا نابرابري ذيل را ثابت مي‌كنيم:

(رابطه‌ي 9)

به‌ازاي :

براي  رابطه ثابت شد.

به‌ازاي  داريم:

بنابراين به‌ازاي  نيز نابرابري نشان داده شد. بنابراين نابرابري به‌طور كلي ثابت مي‌شود. لذا داريم: