فرض كنيد «كنفدراسيون فوتبال آسيا» مي‌خواهد چگونگي پرتاب سكه توسط «ماتيو كريستوفر بريز» داور استراليايي مسابقه‌ي ايران و كويت را بررسي كند. سكه بنا است در هفتم فروردين 1387 توسط اين داور در ورزشگاه كشور كويت بين «علي كريمي» سرگروه ايران و سرگروه كويت بالا انداخته شود و ممكن است «رو» يا «پشت» آن ظاهر شود.

«كنفدراسيون فوتبال آسيا» مي‌خواهد احتمال ظاهر شدن بار «رو» را پس از انداختن بار سكه در  بازي در نظر گرفته شده توسط داور مذكور بيابد.

اگر از شما براي كمك به «كنفدراسيون آسيا» دعوت كنند شما اين احتمال را چگونه مي‌يابيد؟

براي جواب به اين سؤال دو حالت را درنظر مي‌گيريم:

حالت اول – در هر بار انداختن سكه، احتمال ظاهر شدن «رو» و «پشت» برابر باشد. در اين صورت، ظاهر شدن «رو» را با  و ظاهر شدن «پشت» را با  نشان مي‌دهيم. در اين صورت ممكن است با پرتاب سكه مثلاً: به‌تعداد پنج بار، حالت‌هاي ذيل به‌ترتيب از راست به چپ به‌دست آمده و دنباله‌اي نظير ذيل تشكيل شود: «پشت‌ رو پشت پشت رو»   با فرض انجام شده اين وضعيت را به‌شكل ذيل توصيف مي‌كنيم: (رابطه‌ي 1) مي‌توانيم مشاهده كنيم كه تمام نتايج ممكن از بار انداختن سكه با بسط عبارت ذيل بيان شود: (رابطه‌ي 2) در اين صورت، ضريب  در  تعداد نتايج ظاهر شدن بار «رو» را نشان مي‌دهد. يعني احتمال ظاهر شدن بار «رو» پس از بار انداختن سكه از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد: (رابطه‌ي 3) تابع را «تابع مولد» (Generating Factor) مي‌ناميم و آن را براي بررسي اين احتمال تعريف مي‌كنيم. بدين‌معنا كه ضريب  دقيقاً احتمال بار «رو» را بيان مي‌نمايد.

حالت دوم – در هر بار انداختن سكه، احتمال ظاهر شدن «رو» و «پشت» برابر نباشد. در اين صورت  و  را به‌ترتيب احتمال ظاهر شدن «رو» و «پشت» در هر بار پرتاب درنظر مي‌گيريم. بديهي است كه همواره رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود: (رابطه‌ي 4) در اين‌صورت يافتن احتمال ظاهر شدن بار «رو» همانند يافتن ضرايب تابع  است كه در آن  دقيقاً احتمال ظاهر شدن بار «رو» است. رابطه‌ي  با  و  به‌صورت ذيل بيان مي‌شود: (رابطه‌ي 5) بدين‌ترتيب احتمال ظاهر شدن بار «رو» با انداختن بار سكه در  مسابقه‌ي فوتبال توسط «ماتيو كريستوفر بريز» داور استراليايي مسابقه‌ي ايران – كويت از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد: (رابطه‌ي 6)

واقعاً ببخشيد كه مقدمه كمي طولاني شد! حالا «كنفدراسيون فوتبال آسيا» از شما سؤال ذيل را براي بررسي وضعيت انداختن سكه در مسابقه‌هاي هم‌زمان توسط داوران متفاوت مطرح مي‌كند. اميدواريم با مقدمه‌ي ارائه شده جوابگوي سؤال آنان باشيد.

فرض كنيد داور متفاوت  مسابقه از مرحله‌ي مقدماتي جام جهاني در قاره‌ي آسيا را در تاريخ هفتم فروردين 1387 قضاوت خواهند كرد. سكه‌اي كه به اين كار اختصاص داده شده را به‌صورت ذيل نام‌گذاري مي‌كنيم:

سكه‌ها به‌گونه‌اي طراحي شده‌اند كه ظاهر شدن «رو» براي سكه‌ي  (براي هر عدد )، داراي احتمال  در هر پرتاب است.

اگر كلاً  سكه‌ توسط داوران در مسابقه‌هاي هم‌زمان پرتاب شود احتمال اين‌كه مجموع تعداد ظاهر شدن «رو» عددي «فرد» باشد چقدر است؟