مساحت دايره و اعداد گنگ و طبيعي ... سؤال همراه با جواب
سؤال
حلقه‌اي از 12 دايره‌ي يكسان كل محيط دايره‌اي به‌شعاع واحد C را پوشانده‌اند. هر يك از اين 12 دايره بر دو دايره‌ي مجاور خود مماس است.
اگر مجموع مساحت‌ها ي اين 12 دايره برابر 
باشد كه در آن a,b,c اعداد طبيعي بوده و 
عددي گنگ است، مقدار a+b+c چقدر است؟
فرض كنيم شعاع هر يك از 12 دايره برابر 
باشد. دو دايره‌ي مجاور با شعاع را در نظر مي‌گيريم. مركزهاي اين دو دايره را 
و 
و نقطه‌ي تماس اين دو دايره را 
و مركز دايره‌ي 
را 
مي‌گيريم.
مي‌دانيم وسط پاره‌خط 
و خط 
بر عمود است.
هم‌چنين طول برابر شعاع دايره‌ي يعني 1 است و زاويه‌ي 
برابر 
درجه است.
در 
مثلث داريم:
از طرفي با توجه به رابطه‌ي مثلثاتي ذيل:
داريم:
بنابراين مجموع مساحت‌هاي اين 12 دايره برابر است با: