مسابقه شماره 186
آیا با مفهوم تعمیم دادن در ریاضیات آشنا هستید؟ اگر آشنایی زیادی هم نداشته باشید فکر می‌کنم اصطلاح تعمیم داده شدن به گوشتان آشنا باشد.
فرض کنید گزاره‌ای برای یک مجموعه مانند A درست باشد. منظور از تعمیم دادن یک گزاره این است که حکمی شبیه آن برای مجموعه‌ای بزرگ‌تر مانند B بتوانید اثبات کنید، به‌طوری که اگر این حکم جدید را برای مجموعه‌ی A که زیرمجموعه‌ی مجموعه B است، به‌کار ببرید به همان گزاره‌ی اول برسید.
به عنوان مثال یک گزاره‌ی معروف از هندسه را تعمیم می‌دهیم:
|
مجموع زاویه‌های داخلی هر مثلث برابر است با 180 درجه
|
در اینجا مجموعه‌ی A همه‌ی مثلثها هستند. می‌دانیم که هر مثلث یک چندضلعی محدب است (چندضلعی محدب به چندضلعی‌ای می‌گویند که اگر هر دو نقطه از آن را با خط راستی به هم وصل کنیم، ای خط راست به‌طور کامل داخل چندضلعی قرار گیرد.). حال مجموعه‌ی بزرگ‌‌ترمان یعنی B را مجموعه‌ی همه‌ی چندضلعی‌های محدب فرض میکنیم. حکمی زیر تعمیمی از گزاره‌ی قبلی است:
|
مجموع زاویه‌های داخلی یک n-ضلعی محدب برابر است با 180*(n-2) درجه
|
زیرا اگر به‌جای n عدد 3 قرار دهیم همان حکم قبلی را به‌دست خواهیم آورد.
و اما سوال مسابقه:
رابطه‌های زیر را تعمیم دهید و ادعای خود را ثابت کنید:
|
62 - 52 = 11
562 - 452 = 1111
5562 - 4452 = 111111
55562 - 44452 = 11111111
|