آن‌چه كه با عنوان «چكيده» در اول مسابقه‌ها و زنگ تفريح‌ها مشاهده مي‌كنيد صرفاً مخصوص معلمان، مربيان، كارشناسان محترم آموزشي و ساير علاقه‌مندان است.

 اهداف آموزشي

 نتايج مورد نظر

فرض كنيد:

به‌نظر شما رابطه‌ي ذيل داراي چند جواب حقيقي مجزا است؟

 را به‌صوت تابع ذيل تعريف مي‌كنيم:

(رابطه‌ي 3)

اگر فرض كنيم براي هر عدد حقيقي رابطه‌ي ذيل صادق باشد:

(رابطه‌ي 4)

بايد رابطه‌‌ي ذيل براي هر عدد حقيقي و هر عدد طبيعي  برقرار باشد:

(رابطه‌ي 5)

بنابراين رابطه‌ي  در حالتي كه:  است داراي هيچ جواب حقيقي نخواهد بود.

اجازه دهيد ثابت كنيم  براي  داراي دو جواب مجزاي حقيقي باشد. براي اثبات آن از استقراي رياضي براي استفاده مي‌كنيم:

	- اگر باشد حكم مستقيماً ثابت مي‌شود.
	- فرض كنيد حكم براي يك عدد طبيعي نظير:  صدق كند، ثابت مي‌كنيم براي ‌عدد نيز بايد صادق باشد. از آن‌جايي كه داريم: (رابطه‌ي 6) روابط ذيل را نتيجه مي‌گيريم: (رابطه‌ي 7) يا: (رابطه‌ي 8)

بنابراين طبق اصل استقرا رابطه‌ي  و هم‌چنين ، داراي دو جواب حقيقي مجزا خواهد بود؛ اين در حالي است كه رابطه‌ي  فاقد جواب حقيقي است (به‌علت آن‌كه همواره داريم: ).

بنابراين رابطه‌ي  داراي دو جواب حقيقي مجزا است.

اكنون اجازه دهيد ثابت كنيم رابطه‌ي ذيل دقيقاً داراي  جواب حقيقي مجزا است:

(رابطه‌ي 9)

دوباره از استقراي رياضي استفاده مي‌كنيم:

	- اگر ، جواب‌ها عبارت خواهند بود از: (رابطه‌ي 10)
	- اگر ، جواب‌ها عبارت خواهند بود از: (رابطه‌ي 11)

بنابراين هر دو حالت تعداد جواب‌ها برابر خواهد بود.

فرض كنيد حكم براي بعضي از  برقرار باشد.

لازم به ياداوري است كه داريم:

(رابطه‌ي 12)

بنابراين مجموعه‌ي تمام جواب‌هاي حقيقي كه در رابطه‌ي ذيل صدق مي‌كنند:

(رابطه‌‌ي 13)

كه دقيقاً همان مجموعه‌هاي جواب‌هاي حقيقي مربوط به رابطه‌هاي ذيل هستند:

(رابطه‌ي 14)

(رابطه‌ي 15)

(رابطه‌ي 16)

اكنون از استقرا استفاده مي‌كنيم:

رابطه‌ي داراي  جواب حقيقي متمايز است. اين در حالي است كه رابطه‌هاي ‌و  به‌همان دليل داراي دو جواب حقيقي غيرمشخص هستند.

بنابراين مجموعه‌هاي فوق - كه دوبه‌دو مجزا هستند – و رابطه‌‌ي  داراي  جواب حقيقي مجزا مي‌باشند.

بدين‌ترتيب ثابت كرده‌ايم كه براي هر عدد طبيعي ، رابطه‌‌ي  دقيقاً داراي  جواب حقيقي متمايز است و بنابراين جواب پيشنهادي براي سؤال 1387 جواب حقيقي خواهد بود.