اولين بار كه بشر شروع به‌شمارش كرد، هيچ‌گاه فكر نمي‌كرد كه قدم به چه سرزمين پيچيده‌اي گذاشته است ...
دنباله‌ي «اعداد طبيعي» را در نظر بگيريد:
1،2،3،4،5،6،7،8،9،10،11،12،13،14،15،... |
اعداد زوج را كنار بگذاريد، آن‌چه باقي مي‌ماند مجموعه‌ي اعداد فرد است:
حال دنباله‌ي جديدي از اعداد طبيعي را اين‌گونه مي‌سازيم:
براي اين كار، اعضاي دنباله‌ي اعداد فرد را با {an} و اعضاي دنباله‌ي جديد را با {bn} نمايش مي‌دهيم:
a1=1 , a2=3 , a3=5 ,a4=7 , a5=9 , … |
اعضاي دنباله‌ي {bn} را اين‌گونه تعريف مي‌كنيم:
خواهيم داشت:
{bn} =1 ،(1 + 3)، (4 + 5)، (9 + 7)، (16 + 9)، (25 + 11)، (36 + 13)، (49 + 15)، ...
=1،4،9،16،25،36،49،64، |
بله! اين دنباله تنها شامل توان‌هاي دوم اعداد طبيعي است.
حال اعداد مضرب 3 را از مجموعه‌ي اعداد طبيعي حذف كنيد و آن را {an} بناميد. مانند بالا دنباله‌ي {bn} را از روي دنباله‌ي {an} بسازيد. از دنباله‌ي جديد به‌دست آمده مضارب2 و 3 را كنار گذاشته و دنباله‌ي جديد را {an} بناميد. دوباره دنباله‌ي {bn} را از روي دنباله‌ي {an} توليد كنيد. دنباله‌ي به‌دست آمده، دنباله‌ي توان‌هاي سوم اعداد طبيعي است:
1،2،3،4،5،6،7،8،9،10،11،12،13،14،15،... |
1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,... |
1,3,7,12,19,27,37,48,61,75,... |
1,7,19,37,61,... |
1,8,27,64,125,... |
اگر بار ديگر با كنار گذاشتن اعداد مضرب 4، اين الگوريتم را انجام دهيد به‌دنباله‌اي مي‌رسيد كه «توان‌هاي چهارم» اعداد طبيعي را شامل مي‌گردد.
حتماً حدس مي‌زنيد كه با كنار گذاشتن اعداد مضرب n و انجام الگوريتم فوق به توان‌هاي n-اُم اعداد طبيعي مي‌رسيد...
حق با شماست، درست حدس زده‌ايد!!