چهار نقطه‌ي
غيرواقع در يك صفحه
فرض كنيد نقاط ، ، و در يك صفحه قرار نداشته باشند و رابطه‌هاي ذيل صادق باشد:
(رابطهي 1)
ثابت كنيد:
(رابطهي 2)
اين مسأله را كلي‌تر حل مي‌كنيم.اگرچه خارج از فرض است ولي فرض مي‌كنيم نقاط ، ، و بر روي يك صفحه قرار دارند. اگر يك چهارضلعي محدب باشد در صورت برابري زاويه‌هاي مقابل، چهارضلعي مذكور «متوازي‌الاضلاع» بوده و اضلاع مقابل با يكديگر برابر خواهند بود. در نتيجه رابطهي 2 برقرار خواهد بود.
اما اگر چهارضلعي محدب باشد رابطهي نشان مي‌دهد نقاط ، ، و بر روي يك دايره قرار مي‌گيرد و بنابراين داريم:
(رابطهي 3)
در اين حالت مطمئناً رابطه‌هاي ذيل برقرار نخواهد بود:
(رابطهي 4)
اگر از زواياي كسينوس بگيريم خواهيم داشت:
(رابطهي 5)
بنابراين خواهيم داشت:
(رابطهي 6)
به‌طور مشابه اگر از زواياي كسينوس بگيريم خواهيم داشت:
(رابطهي 7)
و بنابراين رابطهي ذيل حاصل مي‌شود:
(رابطهي 8)
اگر ، و را به‌صورت ذيل تعريف كنيم:
(رابطهي 9)
و رابطهي 9 را در رابطه‌هاي 6، 7 و 8 قرار دهيم خواهيم داشت:
(رابطهي 10)
در رابطه‌هاي 10 اگر هر يك از مقادير يا برابر «صفر» باشد ديگري نيز «صفر» خواهد بود.
اما اگر و برابر «صفر» باشند و داشته باشيم:
(رابطهي 11)
(رابطهي 12)
از سوي ديگر اگر نه نه برابر «صفر» نباشند نتيجه خواهيم گرفت:
(رابطهي 13)
و در نتيجه خواهيم داشت:
(رابطهي 14)
بنابراين خواهيم داشت:- يا-
در هر حالت از قضيه‌ي «پتولمي» (Ptolemy's Theorem) استفاده مي‌كنيم.
استفاده از اين قضيه نشان مي‌دهد كه:
- نقاط ، ، و در يك صفحه قرار داشته باشند.
- از نقاط ، ، و يك دايره خواهد گذشت با بر روي يك خط قرار خواهند گرفت.
اما اگر فرض شود نقاط ، ، و بر روي يك صفحه قرار نداشته باشند بنابراين لازم است رابطهي 4 برقرار باشد.