اهمیت و جاذبه‌ی مجموعه‌ها

«این تازه اول راه است.»

مقدمه
  

همه‌ی ریاضیدانان در این نکته اتفاق‌نظر دارند که هر ریاضیدانی باید قدری نظریه‌ی مجموعه‌ها بداند. اما وقتی می‌خواهند این مقدار را تعیین کنند اختلاف‌نظرها شروع می‌شود.

حقیقت این است که مطالب نظریه‌ی مجموعه‌ها بسیار انتزاعی (ذهنی) هستند و بنابراین پرداختن به آن‌ها به صرف وقت نیاز دارد. یکی از بدیهیات ریاضیات این است که هرچه دامنه‌ی کاربرد قضیه‌ای وسیع‌تر باشد عمق آن کمتر است. کار ما در یادگیری نظریه‌ی مجموعه‌ها این است که در کلیات ناآشنا و اساسا کم‌عمق غوطه‌ور شویم تا به جایی برسیم که با این مفهوم کاملا آشنا شده و بتوانیم آن‌ها را بی هیچ تلاش آگاهانه‌ای به‌کار بریم. به عبارت دیگر، نظریه عمومی مجموعه‌ها در واقع چیز بدیهی و پیش پا افتاده‌ای است. اما اگر می‌خواهیم ریاضیدان شویم باید کمی از آن را بشناسیم.

برای شروع اصل موضوع گسترش را معرفی می‌کنیم.

یک گله گرگ، یک خوشه انگور یا یک دسته کبوتر، مثال‌هایی هستند از مجموعه‌ها یی از اشیا. از این مفهوم ریاضی مجموعه، می‌توان به عنوان اساسی برای تمامی ریاضیات امروزی استفاده کرد.

بحث ما یک چیز را شامل نمی‌شود و آن تعریف مجموعه است. وضع ما در این جا شبیه رهیافت آشنای اصل موضوعی به هندسه‌ی مقدماتی است. آن رهیافت نیز تعریفی از نقطه و خط نمی‌دهد [به عنوان مفاهیم نخستین یا غیر قابل تعریف از آن ها یاد می‌شود]، بلکه به توصیف کارهایی می‌پردازد که با این مفاهیم می‌توان انجام داد. در شیوه‌ی اصل موضوعی که در این جا پیش گرفته‌ایم، فرض بر این است که خواننده درکی معمولی، انسانی، شهودی (غالبا نادرست) از ماهیت مجموعه دارد و هدف از تشریح نظریه، توصیف برخی از انبوه کارهایی است که می‌توان به طور صحیح با مجموعه انجام داد.

مجموعه‌ها آن‌گونه که معمولا تصور می‌شوند دارای عنصر یا عضو هستند. عضو یک مجموعه ممکن است یک گرگ، یک حبه انگور و یا یک کبوتر باشد. داشتن این نکته که یک مجموعه نیز می‌تواند عضوی از مجموعه‌های دیگر باشد مهم است. ریاضیات پر است از مثال‌هایی از مجموعه‌ها. مثلا خط مجموعه‌ای از نقاط است. مجموعه‌ی همه‌ی خطوط صفحه، یک مثال طبیعی از مجموعه‌ای از نقاط است. هر چند این نکته که مجموعه‌ها می‌توانند به‌عنوان عنصر ظاهر شوند ممکن است شگفت‌آور باشد، ولی شگفت‌آورتر از آن، این است که برای اهداف ریاضی لازم نیست هیچ عنصر دیگری (به جز مجموعه‌ها) در نظر گرفته شود.

مفهوم اصلی نظریه‌ی مجموعه‌ها، مفهوم تعلق است. چنان‌چه  Xمتعلق به  Aباشد (X عنصری از  Aباشد یا  Aشامل X باشد) می‌نویسیمX ϵ A ، نماد ϵ نماد عضویت است و برگرفته از حرف یونانی ε (اپسیلون) است و توسط پئانو مورد استفاده قرار گرفته شده است.

یکی از روابط ممکن میان مجموعه‌ها که مقدماتی‌تر از تعلق است، تساوی است. تساوی با علامت = نمایش داده می‌شود و A=B یعنی  A با  B یکسان است.

اصل موضوع گسترش:

دو مجموعه با هم مساوی‌اند اگر و تنها اگر دارای عناصر یکسان باشند. و یا در قالب عبارتی با جلوه‌ی بیشتر ولی وضوح کمتر: یک مجموعه با گسترش خود مشخص می‌شود.

دانستن این مطلب مهم است که اصل موضوع گسترش، صرفا خاصیتی نیست که در مورد تساوی ضرورت منطقی داشته باشد بلکه حکمی غیر‌بدیهی درباره‌ی تعلق است. یکی از راه‌های درک این موضوع، توجه به وضع مشابهی است که در آن، اصلی مشابه اصل گسترش برقرار نیست. مثلا فرض کنید به جای مجموعه‌ها انسان‌ها را مورد نظر قرار دهیم، و اگر X و A انسان باشند، هر وقت X جد A باشد، بنویسیم X ϵ A.  (اجداد شخص عبارتند از والدین او، والدین والدین او، والدین آن‌ها و الی آخر). اصل موضوع گسترش در اینجا می‌گوید که: هرگاه دو شخص با هم مساوی باشد، آن‌گاه اجدادشان یکی هستند (این قسمت «فقط اگر» اصل است، درست است). و نیز هر گاه دو شخص اجدادشان یکی باشد آن گاه با هم مساوی‌اند (این قسمت «اگر» اصل است و غلط است).

حال به‌نظر می‌رسد خواننده به اهمیت اصل موضوع به‌ظاهر پیش‌افتاده‌ی گسترش آگاهی پیدا کرده است! باید تلاش کرد برای از بین بردن ابهامات در ریاضیات.