یک توضیح تاریخی...

اهمیت مطالعه‌ی تاریخ هر علمی بر هیچ کس پوشیده نیست. بدون آگاهی از سیر تکاملی ریاضیات، مطالعه تخصصی از احساس لازم برخوردار نبوده و در نهایت کار به جایی نخواهد برد. مطالعه‌ی نظریه‌ی مجموعه‌ها برای هر فردی که ریاضیات را در زندگی خود به‌کار می‌برد واجب است. اطلاع از تاریخ آن نیز خالی از لطف نخواهد بود. کوشش ما بر این است که با رعایت اختصار شور و شعف لازم برای ترغیب دانش‌آموزان و دانش‌جویان را فراهم آوریم. و بر این باوریم که رشد ریاضیات در گرو انجام کارهایی زیر بنایی، از نو و نیازمند ساختار شکنی است. اگر مسیر را درست انتخاب نمائیم قادر خواهیم بود آن را طی کنیم. انتخاب اشتباه مسیر حتی در صورت پیموده شدن تا انتها، فایده‌ای نخواهد داشت. باید برای انتخاب مسیر درست تلاش کرد. عقیده‌ی عموم بر این است که ریاضیدان نامی گئورگ کانتور (1918-1845) تئوری مجموعه‌ها را در سال 1895 به‌وجود آورده است.

او به‌هنگام مطالعه‌ی سری‌های مثلثاتی متوجه شد که به وجود چنین نظریه‌ای نیاز است. کانتور نوشت: «منظور از مجموعه هر دسته‌ای از اشیا متمایز در شعور یا فکر ماست به صورت یک کل» این تعریف مانع نمی‌شود کسی مجموعه‌ی تمام مجموعه ها را در نظر بگیرد. هم چنان که برتر اندراسل این کار را کرد. مشکل واقعی در تعریف کانتور برای مجموعه، لغت «دسته» است. دسته چیست؟ البته می‌توانیم به یک فرهنگ لغت نگاه کنیم و به چیزی شبیه این تعاریف دست یابیم:

دسته: گروهی از اشیای گردآوری شده
گروه: یک گردایه با دسته
گردایه: یک دسته
 
 با این تعاریف دردی درمان نخواهد شد. هنگامی که یک ریاضیدان تعریفی ارایه می‌‌دهد منظورش تنها آوردن یک مترادف مانند دسته به‌جای مجموعه، و یا تعریف دوری که در فرهنگ می‌یابیم، نیست. ظاهرا کانتور واقف نبوده که واژه‌ی مجموعه واقعا تعریف‌ناپذیر است.

برای اجتناب از هر مشکلی نظیر پارادوکس راسل در نظریه‌ی مجموعه‌ها، باید واژه‌های «مجموعه» و «عنصر» را به عنوان واژه‌های تعریف نشده، یا اولیه بپذیریم. و چند اصل موضوع، از جمله اصل موضوع تصریح  و اصل موضوع مجموعه‌های توانی را که در کتاب‌های نظریه‌ی مجموعه‌ها می‌توان تعاریفی برای آن‌ها یا راهنمایی این واژه‌ها‌ی اصلی قرار دهیم. اصل موضوع دیگری را نیز غالبا در نظریه‌ی مجموعه‌ها می‌آورند، مانند A=B اگر یک و تنها اگر عناصر  A همان عناصر  B باشند، (اصل موضوع گسترش)، «φ یک مجموعه است» (اصل موضوع مجموعه تهی)، اگر  A و B مجموعه باشد آن گاه {A, B} نیز مجموعه است (اصل موضوع جفت‌سازی)، اگر T مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد آن گاه U T یک مجموعه است (اصل موضوع اجتماع).

پارادکس راسل تنها پارادکسی نبود که در نظریه مجموعه‌ها پدید آمد، کمی بعد از این که پارادکس راسل منتشر شد، ریاضیدان‌ها و منطقییون پارادکس‌های بسیاری ساختند. نتیجه تمام این پارادکس‌ها این شد که بسیاری از ریاضیدانان و منطقییون روی انواع زیادی از نظریه‌ی اصل موضوعی مجموعه‌ها کار کردند. منظور هر یک از این نظریه‌ها این بود تا پارادکس‌ها از میان بروند و هسته اصلی نظریه‌ی مجموعه‌های کانتور حفظ شود. ولی تا این زمان هنوز کسی موفق نشده به این مهم دست پیدا کند و اصول موضوعی رضایت‌بخش برای نظریه مجموعه‌ها ارایه دهد.

با وجود مشکلات ذکر شده، نظریه‌ی مجموعه‌های کانتور، امروزه در تمام رشته‌های ریاضیات نوین وارد شده و ثابت شده است که در پایه‌گذاری آنالیز مدرن و توپولوژی اهمیت خاص دارد. در واقع حتی ساده‌ترین سیستم‌های اصل موضوعی کاملا توسعه‌یافته‌ی نظریه‌ی مجموعه‌ها برای کار ریاضیات کلاسیک (مانند نظریه اعداد حقیقی و مختلط, جبر و توپولوژی و غیره) کاملا کافی است.