مسابقه شماره ۲۴۱
سوال
روز دیگر محمد به بازی «اسنیپ» پرداخت. این بازی شبیه بازی دامبلدور است.
در این بازی 10 سنگ 1 تا 10 به صورت دایره‌ای شکل قرار گرفته‌اند. محمد روی سنگ 1 قرار دارد.
او در حرکت i ام باز هم روی 1 - i سنگ به صورت یک پا و سپس روی سنگ بعدی جفت پا می‌پرد.
اما فرق مهم این دو بازی در این است که در این بازی هر گاه محمد به صورت جفت پا روی سنگ 1 بپرد , جهت پریدنش را عوض می‌کند. مثلا تصور کنید پس از حرکت سوم او روی سنگ 7 قرار دارد.
او در حرکت چهارم به صورت یک پا به ترتیب روی سنگ‌های 8, 9 و 10 خواهد پرید و سپس به صورت جفت پا روی سنگ 1 می‌پرد.
حال جهت حرکتش عوض می‌شود و در حرکت پنجم , به صورت یک پا از روی سنگ‌های 10 , 9 , 8 و 7 خواهد گذشت و به صورت جفت پا روی سنگ 6 می‌پرد.
مشخص کنید پس از حرکت 2003 ام او روی کدام سنگ خواهد بود؟
پاسخ
چند حرکت ابتدایی مشخص است. شماره سنگ‌هایی که پس از حرکت اول , دوم , سوم و چهارم بر روی آنها به صورت جفت پا پریده می‌شود به ترتیب 2 , 4 , 7 و 11 (همان 1) می‌باشد که از سنگ 1 به ترتیب 1 واحد , ( 2 + 1 ) واحد , ( 3 + 2 + 1 ) واحد و بالاخره ( 4 + 3 + 2 + 1 ) واحد فاصله دارند.
در این لحظه جهت عوض می‌شود و بعد از حرکت nام دوباره به صورت جفت پا به روی شماره 1 پریده خواهد شد که در آن n اولین عدد است که n + ... + 7 + 6 + 5 مضرب 10 باشد و این نیز موقعی بر قرار است که n + ... + 3 + 2 + 1 یا n(n + 1 ) ÷ 2 مضرب 10 و یا n ( n + 1 ) مضرب 20 باشد که اولین n بعد از 4 برای برآورده کردن آن شرط , n = 15 می‌باشد. و بعد از 15 نیز اعداد 19 و 20 آن شرط را برآورده می‌کنند.
از حرکت بیستم تا حرکت سی و نهم کاملا شبیه حرکت صفرم تا نوزدهم می‌باشد ؛ یعنی سلسله حرکات دوره تناوبی به طول 20 دارد , لذا حرکت 2003 در مکانی قرار داریم که در انتهای حرکت سوم داشته‌ایم , بنابراین بعد از آن حرکت برروی سنگ هفتم به صورت جفت پا پریده خواهد شد.