پیش بروید که فهم موضوع در پی شما خواهد آمد
«دالامپر»

مقدمه
با وجود نظم و استحکامی که روش محاسبه‌ی دیفرانسیلی در حل مسایل مربوط به اکسترم‌ها دارد، نمی‌توان آن را شامل و جامع دانست. مسایل بسیاری وجود دارند که حل آن‌ها، به‌کمک مشتق، گرچه ناممکن نیست، اما با دشواری و پیچیدگی همراه است. در بیشتر مسایل، نمی‌توان تابع ساده‌ای، که به محاسبه دیفرانسیل و انتگرال مربوط می‌شود، پیدا کرد. یکی از این مسایل، پیدا کردن چهار‌ضلعی با مساحت ماکزیمم از بین چهارضلعی‌ها، که به چهار متغیر، از بین اضلاع و زوایا، نیاز داریم و تنظیم تابع مساحت، بر حسب این چهار متغیر، روش آسانی برای حل مسئله است. البته این نمونه و نمونه‌های بسیار دیگر، به هیچ وجه از اعتبار «محاسبه‌ی دیفرانسیلی و انتگرال» نمی‌کاهد، محاسبه‌ای که در واقع، ابزار نیرومندی در جعبه ابزار ریاضی است. بحث ما چیزی از اهمیت این ابزار کم نمی‌کند، بلکه تاکیدی است بر این موضوع که این تنها ابزار در «جعبه ابزار ریاضی» نیست.

در ادامه قضایای سودمند ارایه می‌گردد که نشان می‌دهند به‌کمک توابع نمایی، می‌توان روش بسیار ساده‌ای برای اثبات نابرابری‌های مربوط به واسطه‌های حسابی و هندسی پیدا کرد. اثبات‌های زیبایی از این قضایا در کتاب هاردی، لیتلوود و پولیا (چاپ 1952) موجود است. همچنین خواننده‌ی علاقه‌مند می‌تواند به کتاب ماکزیمم و مینیمم بدون استفاده از مشتق نوشته‌ی ایوان نیون مراجعه کند.

قضیه1:
اگر q₁, q₂, …, q_n را اعداد حقیقی مثبت جز مجموع واحد در نظر بگیریم، (جمع آن ها یک است). آن گاه، اگر  a₁, a₂,…, a_n  اعداد حقیقی نامنفی باشند، خواهیم داشت:

a₁q₁+...+a_nq_n >= a₁^q₁+...+a_n^q_n

تساوی تنها زمانی است که:

a₁=a₂=⋯=a_n

نابرابر مربوط به واسطه‌های حسابی و هندسی، حالت‌های خاصی از این نابرابری است یعنی وقتی که داشته باشیم:

q₁=q₂=⋯=q_n=1/n

برای اثبات قضیه، می‌توانید از قضیه‌ی زیر استفاده کنید:

قضیه 2:
برای هر عدد حقیقی x داریم: e^x≥ex. تساوی تنها وقتی است که x=1. اثبات این قضیه نیز آسان است.
همچنین از قضیه‌ی 2، دو نتیجه به‌دست می‌آید:

نتیجه 1:
ماکزیمم مقدار x^1⁄x ، به ازای همه ی مقادیر حقیقی و مثبت  x، برابر است با e^1⁄e.

نتیجه 2:

اگر b>a≥e یا 0  ، آن گاه a^b>b^a .
حالت خاصی از این نتیجه نابرابر e^π<π^e است.

 یک سوال

حال با استفاده از متن، یا بدون استفاده از مشتق، بزرگ‌ترین عدد حقیقی  x را طوری پیدا کنید که دنباله‌ی زیر همگرا و دارای حد متناهی باشد. این حد چقدر است؟