هیچ آدابی و ترتیبی مجوی
هر چه می خواهد دل تنگت بگو.

1. دو سطح را همومورفیک یا از نظر توپولوژی هم‌ارز نامیم، هر گاه بتوانیم یکی را از دیگری بر اثر کشیدن، فشردن، خم کردن (بدون پاره کردن یا به هم چسباندن) و در صورت نیاز، بریدن- البته به شرطی که سرانجام دو لبه ی هر بریدگی را به همان گونه که قبل از بریدن بودند، به هم متصل کنیم- به دست آوریم.

الف) سطوح تشکیل شده از 26 حرف الفبای انگلیسی را در دسته هایی که از لحاظ توپولوژیکی هم ارز باشند، مرتب کنید.

ب) نشان دهید که یک چهاروجهی منتظم که به جای یال‌های آن سیم گذاشته شده، سطحی را به دست می‌دهد که با سطح کره‌ای که سه دسته‌ی فنجان چای به آن متصل شده، از نظر توپولوژی هم‍ارز است.

ج) لطیفه‌ی زیر را توضیح دهید: «در نظر یک توپولوژی‌دان، بین یک پیراشکی حلقه‌ای شکل و فنجان قهوه اش تفاوتی وجود ندارد».

2. سطحی که از تاب دادن یک نوار کاغذی به اندازه ی 180 درجه و چسباندن دو سر آن به هم تشکیل می‌شود، نوار موبیوس نام دارد. نشان دهید که نوار موبیوس فقط یک طرف و یک یال بدون گره دارد.

3. روش جادوگری را که به صلاح بودن ازدواج زوج‌های خواهان ازدواج را به شرح زیر تعیین می کرد، مورد بحث قرار دهید:

او اگر می‌خواست که یک جدایی در آینده را در ازدواج مطرح شده پیش‌بینی کند، یک نوار تاب‌خورده را از وسط می‌برید، اگر می‌خواست پیش‌بینی کند که زوج‌ها با هم مشاجره خواهند کرد ولی با هم خواهند ماند، نواری را که تاب کاملی داشت، دو نیم می‌کرد، و اگر می‌خواست ازدواج پایداری را پیش‌بینی کند، یک نوار موبیوس را دو نیم می‌کرد.

4. مجموعه اصل موضوعی زیر را در نظر بگیرید، که در آن زنبور و کندو اصطلاحات اولیه هستند:

P1 هر کندو مجموعه ای از زنبورهاست.

P2 هر دو کندوی متمایز یک و فقط یک زنبور مشترک دارند.

P3 هر زنبور متعلق به دو و فقط دو کندو است.

P4 دقیقا چهار کندو وجود دارد.

الف) نشان دهید که این مجموعه‌ی اصول موضوع مطلقا سازگار* است.

ب) نشان دهید که اصول موضوعه‌ی P2، P3 و P4 مستقلند**.

ج) قضایای زیر را از مجموعه‌ی اصل موضوعه‌ی مفروض استنتاج کنید:

T1 دقیقا شش زنبور وجود دارد.
T2 در هر کندو دقیقا سه زنبور وجود دارد.
T3 به ازای هر زنبور دقیقا یک زنبور دیگر وجود دارد که با آن در یک کندو نیست.

توضیحات:
*  سازگاری یعنی هیچ تناقضی را نتوان از آنها نتیجه گرفت.
** مستقل بودن یعنی هیچ یک از اصول موضوع مستلزم اصل موضوع دیگر نباشد یا به عبارتی دیگر، درستی یا نادرستی‌شان به هم مرتبط نباشد.