سؤال

تمام مجموعه‌هاي غيرتهي از اعداد مثبت  را بيابيد كه داشته باشيم:

(رابطه‌ي 1)

كه در آن منظور از تابع ، «بزرگ‌ترين مخرج مشترك» اعداد و  است.

 را عضوي فرضي از مجموعه‌ي  در نظر مي‌گيريم:

بنابراين داريم:

(رابطه‌ي 2)

اگر فرض كنيد  بزرگ‌ترين عدد فرد مجموعه‌ي  باشد در اين صورت با توجه به فرض مسأله (رابطه‌ي‌ 2) خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 3)

اما مي‌دانيم اگر  فرد باشد  نيز فرد است و اين با فرض اين‌كه  بزرگ‌ترين عدد فرد باشد تناقض دارد. بنابراين مجموعه‌ي  نمي‌تواند شامل هيچ عدد فردي باشد به‌عبارت ديگر فقط شامل «اعداد زوج» است.

 اما اكنون عددي مانند  را به‌عنوان كوچك‌ترين عضو بزرگ‌تر از 2 در مجموعه‌ي درنظر مي‌گيريم. از آن‌جايي  عددي زوج است (همان‌طور كه قبلاً ثابت كرديم مجموعه‌ي  از اعداد زوج تشكيل شده است) عددي مانند  يافت خواهد شد به‌گونه‌اي كه داشته باشيم:

(رابطه‌ي 4)

از طرفي رابطه‌ي ذيل را به‌وضوح مي‌توان به‌دست آورد:

(رابطه‌ي 5)

از آن‌جايي كه طبق فرض،  عضوي از مجموعه‌ي  فرض شده است طبق فرض مسأله (رابطه‌ي 2) و رابطه‌ي 4 داريم:

(رابطه‌ي 6)

اما مي‌دانيم  بايد از 1 بزرگ‌تر باشد (و يا )

به‌عبارت ديگر مي‌توان نوشت:

(رابطه‌ي 7)

با توجه به اين‌كه فرض كرده بوديم كوچك‌ترين عضو بزرگ‌تر از 2 در مجموعه‌ي ‌است لذا خواهيم داشت:

(رابطه‌ي 8)

و يا:

(رابطه‌ي 9)

و اين يك تناقض است. بنابراين مجموعه‌ي  فاقد عضوي غير از 2 خواهد بود.