شبكه‌ي رشد > المپياد رياضي > مسابقه - يك نامساوي در مثلث (مسابقه‌ي شماره‌ي 44)

اهداف آموزشي
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - دانش
    - «دانش راه‌ها و وسايل برخورد با امور جزوي» > «دانش روش‌ها يا روش‌شناسي»
    - «دانش امور كلي و مسائل انتزاعي» > «دانش اصل‌ها و تعميم‌ها»
اهداف آموزشي در حوزه‌ي شناختي - توانايي‌ها و مهارت‌هاي ذهني
    - «فهميدن» > «درون‌يابي»
    - «فهميدن» > «كاربستن»
    - «فهميدن» > «تحليل» > «تحليل روابط»
    - «تركيب» > «توليد يك نقشه يا مجموعه اقدام‌هاي پيشنهادي»
    - «تركيب» > «استنتاج مجموعه‌اي از روابط انتزاعي»

نتايج مورد نظر
    - شناخت بيش‌تر از مباحث مربوط به مساحت مثلث
    - آشنايي با كاربرد فرمول هرون
    - حل مسأله در زمينه‌ي مساحت مثلث
محتواي آموزشي (سرفصل‌هاي المپياد جهاني)
    - هندسه > مساحت

سؤال

فرض كنيد

اضلاع يك مثلث بوده و مساحت آن

باشد. ثابت كنيد رابطه‌ي ذيل همواره برقرار است:

(رابطه‌‌ي 1)

به‌نظر شما چه موقع تساوي در رابطه‌ي فوق برقرار خواهد بود؟

جواب

اين مسأله را مي‌توانيم به‌روش‌هاي مختلف حل كنيم؛ ذيلاً سه نوع راه‌حل براي آن ذكر شده است:

روش اول
روش معمولي حل اين مسأله استفاده از «فرمول هرون» است.

به‌راحتي مي‌توان نشان داد از آن‌جايي كه از رابطه‌ي 1 مي‌توان نامساوي ذيل را نتيجه گرفت:

(رابطه‌ي 2)

تساوي در رابطه‌ي 2 زماني برقرار خواهد بود كه اگر و فقط اگر مثلث متساوي‌الاضلاع باشد.

روش دوم
روش ديگر رسم ارتفاعي از مثلث است كه داخل مثلث قرار مي‌گيرد. اگر اين ارتفاع داراي طول باشد و به‌گونه‌اي بر قاعده‌ي مثلث عمود شود كه دو پاره‌خط و بر قاعده ايجاد كند رابطه‌ي 1 را مي‌توان به‌صورت ذيل نوشت:

(رابطه‌ي 3)

تساوي در رابطه‌ي 3 در صورتي برقرار خواهد بود كه تنها و اگر تنها رابطه‌هاي 4 و 5 را با هم داشته باشيم:

(رابطه‌ي 4)

(رابطه‌ي 5)

برقراري رابطه‌هاي 4 و 5 با هم به‌معني آن است كه مثلث متساوي‌الاضلاع خواهد بود.

روش سوم
شرط لازم و كافي براي آن‌كه رابطه‌ي برقرار باشد آن است كه داشته باشيم:

(رابطه‌ي 6)

هم‌چنين شرط لازم و كافي براي آن‌كه براي هر زاويه‌ي بين و داشته باشيم: آن است كه:

(رابطه‌ي 7)

بنابراين با فرض به‌عنوان زاويه‌ي بين اضلاع و ، شرط لازم و كافي براي برقراري رابطه‌ي آن است كه مثلث متساوي الاضلاع باشد.

ياداوري – نمي‌توانيم از به‌عنوان زاويه‌ي بين اضلاع و استفاده كنيم زيرا آن را قبلاً براي متغيري ديگر انتخاب كرده بوديم.

اكنون با توجه به آن‌كه از روابط مثلثاتي مي‌دانيم:

(رابطه‌ي 8)

با استفاده از قانون كسينوس‌ها در مثلث داريم:

(رابطه‌ي 9)

لذا نامساوي 1 برقرار خواهد بود.

1386/10/7

لينک مستقيم

پاسخ دهيد (5)

فرستنده :

محمد مهدي سليماني

1386/10/25

مـتـن :

ببخشيد من تو پست قبلي جوابو داده بودم و شما از من خواستيد كه اثبات از طريق مشتق جزئي را توضيح بدم اگه يه نگاه به جوابا بندازيد متوجه ميشيد

پاسـخ :

ايميل فرستنده: kamran2005x@gmail.com
تاريخ ارسال: 1386/10/24

محمد مهدي جان!
از شما عذرخواهي مي‌كنيم كه به جواب اولتون دقت نكرديم. ما رو ببخشيد.
از شما به‌خاطر جوابتون تشكر مي‌كنيم.
انشاءالله بيش از پيش موفق باشيد!

فرستنده :

محمد مهدي سليماني

1386/10/24

مـتـن :

حكم:در مثلث هاي با محيط ثابت مساحت متساوي الاضلاع ماكسيمم است
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(p(p-a)(p-b)(a+b-p)
اثبات: اگر a+b+c=2p پس داريم:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(p(p-a)(p-b)(a+b-p)
فرض كنيد A=S^2.
∂A/∂a=p(p-b)(2p-2a-b)=0
∂A/∂b=p(p-a)(2p-a-2b)=0
پس a=b=2/3 p=c زيرا p≠a≠b
چون در (a,b) داريم:
- ( (2A)/(∂a^2 )) ( (∂^2 A)/(∂b^2^∂))
0<〖( (∂^2 A)/∂a∂b)〗^2
و 0> 2A/ ∂^a2^∂
پس اين نقطه، نقطه ماكسيمم است.
لطفا يه فكري براي ارسال پاسخ ها بكنيد اين طوري خيلي سخته همه چي قاطي ميشه

پاسـخ :

تاريخ ارسال: 1386/10/20

محمد مهدي جان!
از اين‌كه قسمت دوم سؤال را به‌خوبي پاسخ گفتي تشكر مي‌كنيم.
و از اين‌كه در حين استدلال از قضيه‌اي استفاده كردي كه براي ساير دوستانت قابل توجه است تشكر مضاعفي مي‌كنيم.
اما قسمت اول سؤال و نامساوي مذكور را ثابت نكردي. انشاءاله شاهد حضور شجاعانه‌ي شما در حل مسائل ديگر در بخش «مسابقه» هم‌چنين ساير بخش‌هاي سايت رشد باشيم.
موفق باشي!

فرستنده :

ياسين اسدالهي

1386/10/24

مـتـن :

تاريخ ارسال: 1386/10/20
ايميل فرستنده: tejaragh@yahoo.fr
اگر به جاي A ضرب در 4راديكال 3 از فرمول هرون استفاده كنيم ميتوانيم بفهميم كه رابطه ي 1در همه ي مثلث ها صادق است.خسته نباشيد!

اگر به جاي A كه مساحت است از فرمول هرون استفاده كنيم مي توانيم بفهميم در رابطه ي 1 كه دفعه ي قبل فرستاده بودم مي تواند بر همه ي مثلث ها صدق كند.براي مثال در مثلث متساوي الاضلاع يكي از اضلاع را 2 بگيريد.با استفاده از فرمول هرون مساحت آن مي شود راديكال 3 و وقتي در 4 راديكال 3 ضرب مي كنيم طرف مجهول 12 مي شود ودر طرف معلوم نيز همچنين 12 مي شود. پس در نتيجه با استفاده از فرمول هرون رابطه ي 1 كه فرستاده بودم بر همه ي مثلث ها صادق است . خسته نباشيد!

پاسـخ :

ياسين جان!
از اين‌كه به اين سؤال پاسخ گفتيد تشكر مي‌كنيم. بهتر است مسائل رياضي را با فرمول كامل حل كنيد...
در عين حال آرزوي ما موفقيت بيش از پيش شماست.

فرستنده :

محمد مهدي سليماني نسب

1386/10/19

مـتـن :

با استفاده از مشتق گيري جزئي مي توان ثابت كرد كه در بين مثلث هاي با محيط ثابت مثلث متساوي الاضلاع داراي مساحت ماكزيمم است.
درنتيجه: A≤√3/4 ((a+b+c)/3)^2
حال اگر در رابطه قرار دهيم داريم: a^2+b^2+c^2 )≥((a+b+c)^2)/3)
كه با ضرب 3 در طرفين صورت نامساوي كوشي ظاهر ميشود و با اثبات بازگشتي حكم ثابت ميگردد.

پاسـخ :

ايميل فرستنده: kamran2005x@gmail.com
وب‌سايت فرستنده: kamran2005x.googlepages.com
تاريخ ارسال: 1386/10/17

محمد مهدي جان!
از اين‌كه اين‌گونه با ابتكار به حل مسأله مي‌پردازي بايد از شما دوست گرامي تشكر و قدرداني كنيم.
اما راستي ننوشته‌اي كه چگونه مي‌توان از مشتق جزئي ثابت كرد حداكثر مساحت مربوط به «متشاوي‌الاضلاع» است. براي اين‌كه بچه‌ها از جوابت استفاده كنند راه‌حلت رو كامل بفرست.
منتظر جوابت هستيم.
موفق باشي!

فرستنده :

ياسين اسدالهي

1386/10/12

مـتـن :

اگر معادله برقرار باشد بايد مثلث ABC متساوي الاضلاع باشد.چون اگر به جاي A راديكال سه بر چهار ضرب در a به توان2بگذاريم رابطه برقرار است(مساحت متساوي الاضلاع).براي مثال a و b و c را 4 بگيريد طرف معلوم 48 ميشود ودر طرف مجهول 4 راديكال 3 ضرب در راديكال سه بر 4 ضرب در 4 به توان دو كه ميشود 48 در نظر بگيريد معادله برقرار ميشود.واگر ميخواهيم a به توان 2 +b به توان 2 + c به توان دو باشد بايد مثلثABC متساوي الساقين باشد .

پاسـخ :

فرستنده: ياسين اسدالهي
ايميل فرستنده: tejaragh@yahoo.fr
تاريخ ارسال: 1386/10/11

ياسين جان!
جواب قسمت دوم سؤال رو به‌خوبي دادي؛ ولي رابطه‌ي 1 براي همه‌ي مثلث‌ها صادق است. بايد علت اونو بيان كني.
منتظر جوابت هستيم.
ضمناً لازم نيست چند بار جوابت رو بفرستي. جوابت بعد از تأييد توسط كارشناس‌هاي شبكه قابل مشاهده مي‌شه.
موفق باشي!

	نظر شما پس از تاييد در سايت قرار داده خواهد شد

نام :
پست الکترونيکي :
صفحه شخصي :
نظر:





تایید انصراف

بازديدها

	كاربران غيرعضو آنلاين: 2
	كاربران عضو آنلاين: 0
	کل كاربران آنلاين: 2

سرویس‌های رشد:

فهرست: