براي هر عدد گوياي  - كه در آن  و  «نسبت به هم اول» هستند – دايره‌اي به‌مركز  و قطر  رسم كنيد. هم‌چنين دايره‌هايي به‌مركز  و  با قطر 1 بكشيد.

	- ثابت كنيد هر دو دايره حداكثر در يك نقطه همديگر را قطع مي‌كنند.
	- ثابت كنيد سطح كلي همه‌ي دايره‌ها از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد: (رابطه‌ي 1)

فرض كنيد  و  اعداد صحيح غيرمنفي باشند به‌گونه‌اي كه رابطه‌ي ذيل برقرار باشد:

(رابطه‌ي 2)

هم‌چنين «تركيب فصلي» ذيل را داشته باشيم:

	- يا  يا  نسبت به هم «اول» هستند
	- يا رابطه‌ي ذيل برقرار است: (رابطه‌ي 3)

براي همه‌ي مقادير ممكن  و ، دايره‌اي به‌مركز  و قطر  رسم مي‌كنيم. مجموعه‌ي دايره‌ها همان خواهد بود كه در مسأله توصيف شده است.

متغيرهاي  و هم‌چنين  و  مشخص‌كننده‌ي دايره‌هايي به‌مركز به‌ترتيب  و و قطر 1 است.

دو دايره‌ي متمايز از مجموعه‌ي دايره‌ها انتخاب كنيد. فرض كنيد يكي داراي مركز  و قطر  باشد و ديگري داراي مركز  و قطر . از آن‌جايي كه براي هر دايره، شعاع برابر با مؤلفه‌ي  از مركز دايره‌ي مذكور است هر دو دايره بر محور ها مماس بوده در بالاي آن قرار خواهند داشت. بنابراين يك دايره نمي‌تواند داخل دايره‌اي ديگر باشد. محور  مركز هر دايره همان محور تقاطع دايره و محور ها است.

از آن‌جايي كه دايره‌ها در نقاط مختلف بر محور ها مماس هستند به‌طور واضح نمي‌توانند به‌صورت داخلي بر يكديگر مماس باشند. بنابراين وضعيت‌هايي نظير ذيل را خواهيم داشت:

فرض كنيد  فاصله‌ي بين مراكز دو دايره هم‌چنين  جمع شعاع‌هاي اين دو دايره باشد:

در حالت الف رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:

(رابطه‌ي 4)

در حالت ب رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:

(رابطه‌ي 5)

در حالت ج رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:

(رابطه‌ي 6)

فاصله‌ي بين مراكز دو دايره از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 7)

جمع شعاع‌هاي دو دايره از رابطه‌ي ذيل به‌ست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 8)

بنابراين رابطه‌هاي ذيل برقرار خواهد بود:

(رابطه‌ي 9)

بنابراين ، ،  و  هم‌چنين  اعداد صحيح هستند. هم‌چنين فرض مي‌كنيم رابطه‌‌هاي ذيل برقرار باشد:

(رابطه‌ي 10)

(رابطه‌ي 11)

اما از آن‌جايي كه  و  اعداد گوياي مجزايي باشند بنابراين رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:

(رابطه‌ي 12)

 از آن‌جايي كه  عدد صحيح غيرصفري محسوب نمي‌شود رابطه‌هاي ذيل برقرار خواهد بود:

(رابطه‌ي 13)

هم‌چنين رابطه‌‌ي ذيل برقرار خواهد بود:

(رابطه‌‌ي 14)

كه بدين‌معنا است:

(رابطه‌ي 15)

از آن‌جايي كه و  «مثبت» هستند رابطه‌ي ذيل برقرار خواهد بود:

(رابطه‌ي 16)

بنابراين دايره‌ها نمي‌توانند در دو نقطه با يكديگر تلاقي داشته باشند؛ به‌علاوه  مي‌تواند با  برابر باشد. به‌عنوان مثال زماني كه رابطه‌هاي ، ،  و  و ). بنابراين دو دايره مي‌تواند در حداكثر يك نقطه تلاقي داشته باشند.

تمام زوج‌هاي اعداد صحيح غيرمنفي  و  را در نظر مي‌گيريم كه رابطه‌هاي ذيل برقرار باشد:

(رابطه‌ي 17)

(رابطه‌ي 18)

جمع چنين زوج‌هاي  از  از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 19)

بايد توجه داشته باشيم كه زوج  منحصراً مي‌تواند به‌شكل  نوشته شود كه در آن عددي صحيح و مثبت بوده و  زوجي از اعداد صحيح از نوع توصيف شده در قسمت الف است. بدين‌ترتيب ممكن است جمع همه‌ي اين زوج‌هاي  از  را به‌عنوان جمع همه‌ي سه‌تايي‌هاي  از  بنويسيم. به بياني ديگر رابطه‌هاي ذيل برقرار خواهد بود:

توجه كنيد كه سري‌هاي ذيل مطلقاً «همگرا» هستند.

(رابطه‌ي 20)

بنابراين رابطه‌ي ذيل را به‌دست خواهيم آورد:

(رابطه‌‌ي 21)

با ضرب دو طرف اين رابطه در  رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 22)

طرف چپ رابطه‌ي 22 جمع چنين زوج‌هاي  از سطح يك دايره با قطر است.

در اين‌جا سطح كل همه‌ي دايره‌ها از رابطه‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

(رابطه‌ي 23)