هم‌چنين در اين زمينه كتابي با عنوان: «مرواريد خدا» (Indra's Pearls) توسط محققين رياضي «ديويد مامفورد» (David Mumford)، «كارولينا سريز» (Carolina Series) و «ديويد رايت» (David Wright) نوشته شده كه در مجله‌ي «دانشگاه كمبريج» (Cambridge University Press) چاپ گرديده است.

«كارولينا سريز» (Carolina Series) پروفسور رياضي در دانشگاه «مارويك» (Marwick) است. وي در «آكسفورد» (Oxford) به‌دنيا آمده آموزش ديد و در دانشگاه «سامرويلد» (Somerville) فارغ‌التحصيل شد. مدرك دكتري PhD را به‌عنوان دانشيار «كندي» (Kennedy) دريافت كرد.

وي به انگلستان بازگشت و تا سال 1358 (1979 ميلادي) در دانشگاه «سامرويلد» (Somerville) حضور داشت.

علاقه‌ي وي به يافتن الگوهايي است كه پشت ساختارهاي هندسي وجود دارد. حوزه‌‌ي پژوهشي وي درباره‌ي هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) يا «غيراقليدسي» (نااقليدسي) خيلي به «فراكتال‌ها» (Fractals) و «تصادف‌ها» (Chaos) نزديك است.

«ديويد رايت» (David Wright) درجه‌ي دكتري را در «نظريه‌ي اعداد» (Number Theory) در سال 1361 (1982 ميلادي) از دانشگاه «هاروارد» (Harvard) با راهنمايي بسيار خوب «بري مازور» (Barry Mazur) دريافت كرد. در عين حال بيش‌ترين زمان خود را صرف پژوهش‌ در زمينه‌ي «رياضيات تصويري» (Visual Mathematics) همراه با «ديويد مامفورد» (David Mumford) مي‌كرد.

وي در حال حاضر پروفسور رياضي در دانشگاه ايالتي «اوكلاهاما» (Oklahoma) بوده و دو دختر فوق‌العاده به‌نام‌هاي «الكساندر» (Alexandra) و «ژولي» (Julie) دارد.

در شكل 3 نمونه‌اي از چنين پوشش غيراقليدسي (نااقليدسي) نشان داده شده است. در مقايسه، شكل 4 نشان‌دهنده‌ي پوشش يك صفحه‌ي مسطح معمولي است.

آن‌چه ذيلاً مطرح مي‌شود در مجموعه مقاله‌هاي «كنفرانس بريجز» (Bridges Conference) برگزار شده در سال 1385 (2006 ميلادي) در شهر لندن ارائه شده و درباره‌ي رياضياتي است كه پشت اين پوشش‌ها به‌كار رفته است و اين‌كه چگونه منجر به تصاوير زيباي «فراكتال‌ها» مي‌شود.

اما در مورد نوعي متفاوت از منحني لازم است توضيح بيش‌تري ارائه كنيم. روش‌هاي جديد اندازه‌گيري باعث مي‌شود اشكال به‌روشي غيرمنتظره‌اي رفتار كنند.

به‌عنوان مثال:

نقطه‌اي نظير  را در نظر گرفته تمام نقاطي را فرض كنيد كه داراي فاصله‌‌اي نظير  از نقطه‌ي مورد نظر باشند. در هندسه‌ي معمول – كه هندسه‌ي «اقليدسي» (Euclid) ناميده مي‌شود – اين نقاط فرضي يك «دايره» (به‌عنوان مثال: به‌ »مركز»  و «شعاع» ) تشكيل مي‌دهند. مي‌دانيم «محيط» دايره‌ با «شعاع»‌ آن متناسب بوده و از رابطه‌ي شناخته شده‌ي ذيل به‌دست مي‌آيد:

= محيط

(رابطه‌ي 1)

در هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic) - چون فواصل به‌صورتي متفاوت اندازه‌گيري مي‌شوند - نقاطي كه در فاصله‌ي برابر با نقطه‌ي  قرار دارند تشكيل يك «دايره» مي‌دهند اما  ديگر در آن‌چه به «مركز» دايره شبيه است قرار نخواهد داشت. در اين صورت، محيط اين دايره‌ي «هذلولوي» متناسب با «شعاع» دايره نبوده بلكه متناسب با خواهد بود كه در آن،  پايه‌ي «لگاريتم طبيعي» (Natural Logarithm) و تقريباً برابر 718/2 است.

اگر «شعاع» بزرگ باشد بدين‌معنا است كه محيط دايره‌ي «هذلولوي» به‌مراتب بزرگ‌تر از يك دايره‌ي «اقليدسي» است. بنابراين براي تناسب با فضاي «اقليدسي» (Euclid Space)، يك ديسك هذلولوي بزرگ بايد به‌طور كامل دور لبه‌هايش شبيه به «برگ كلم» به‌طور كامل پيچيده شود.

اولين باري كه شروع به مشاهده‌ي «برگ كلم» مي‌كنيد اين نوع افزايش را در سرتاسر جهان مي‌بينيد.

در شكل 7 شش‌ضلعي‌هاي اقليدسي پوشش داده شده با «رنگ» مقايسه شده‌اند.

به‌عنوان مثال:

پوشش لانه‌ي زنبوري در شكل 7 دقيقاً داراي  شش‌ضلعي در لايه‌ي ام است. تعداد شش‌ضلعي‌ها در اين حالت، رشد كم‌تري را نشان مي‌دهند.

عليرغم ظاهري غيرمنتظره در دنياي هندسه‌ي «هذلولوي» (Hyperbolic)، شكل 6 هفت‌ضلعي‌هايي با اندازه‌ و شكل يكسان را نشان مي‌دهد. در حالي كه از مركز ديسك دور مي‌شويم براي اين‌كه «تكه‌ها» (Tiles) را با تصوير «اقليدسي» متناسب كنيم بايد آن‌ها را از لحاظ اندازه فشرده‌تر نماييم. بنابراين از منظر اقليدسي، «تكه‌ها» (Tiles) هر قدر به لبه‌هاي ديسك نزديك مي‌شوند از لحاظ اندازه كوچك‌تر مي‌گردند.

از آن‌جايي كه لايه‌هاي بسيار و نامحدودي از «تكه‌ها» (Tiles) بين مركز و لبه‌هاي ديسك وجود دارد در روش اندازه‌گيري «هذلولوي»، خط حد مرزي بايد به‌طور نامحدودي از مركز ديسك دور باشد. در اين هندسه‌ي عجيب و غريب، شعاع ديسك نامحدود خواهد بود. به‌همين دليل، دايره‌ي حد مرزي، «دايره در بي‌نهايت» ناميده مي‌شود.

در اندازه‌گيري‌هاي هذلولوي، طول هر «تكه» (Tile) (هفت‌ضلعي) در شكل 6 داراي طول يكساني هستند به‌گونه‌اي كه در نقش اضلاع دو «تكه‌ي» (Tile) مجزا عمل مي‌كنند. اگرچه طول هر «تكه» (Tile) به‌طور كامل براي ما به‌شكل منحني به‌نظر مي‌رسد در اندازه‌گيري‌هاي هذلولوي عملاً «خط مستقيم» محسوب مي‌شوند.

براي درك اين موضوع براي لحظه‌اي درك مستقيم از «مستقيم بودن» را فراموش مي‌كنيم و چشم‌اندازي كاملاً نظري‌تر به آن مي‌اندازيم:

يك مسير زماني «مستقيم» است كه كم‌ترين فاصله‌اي بين نقاط پاياني‌اش ايجاد كند. در اندازه‌گيري‌هاي هذلولوي، كوتاه‌ترين فاصله بين نقاط در امتداد كماني از يك دايره است كه با آن دايره در بي‌نهايت به‌صورت عمودي برخورد مي‌كند (شكل 8).

طول «تكه‌ها» (Tiles) در شكل 6، قطعه‌هايي از دايره‌هايي است كه دقيقاً اين ويژگي را داشته باشند. همه‌ي «تكه‌هايي» (Tiles) كه به پاره‌خط‌هاي مستقيم محدود شده‌اند داراي طول يكساني بوده و همان‌طور با زاويه‌ي يكساني با دايره برخورد مي‌كنند. اين «تكه‌ها» (Tiles)، «چندضلعي‌هاي هذلولوي منتظم» (Regular Hyperbolic Polygons) محسوب مي‌شوند.

اگر از منظر «هندسه‌ي هذلولوي دوبعدي» نگاه كنيم همه‌ي «تكه‌ها» (Tiles) (هفت‌ضلعي‌هاي منتظم) در شكل 6 يكسان به‌نظر مي‌رسند. از آن‌جايي كه دايره‌ي مرزي به‌طور نامحدودي دور است هرگز قادر نخواهيم بود آن را به‌دست آورده يا حتي از آن آگاه باشيم. تمام دنياي ما با «تكه‌هايي» (Tiles) - كه تا افق نظير يك صفحه‌ي نامحدود شطرنج گسترده شده‌اند - داخل چنين ديسكي واقع شده است.

در هندسه‌ي اقليدسي، چندوجهي‌ها حجم‌هايي محدود به تعدادي صفحه‌ي مسطح و متقاطع هستند.

به‌عنوان مثال:

يك «مكعب» (Cube) حجمي است كه از شش صفحه تشكيل شده و هر صفحه با چهار صفحه‌ي ديگر به‌صورت عمودي متقاطع است (شكل 9).

اما يك «صفحه‌ي هذلولوي» شبيه چه چيزي است؟ در فضاي هذلولوي دوبعدي، خطوط مستقيم با «كمان‌هاي مدور» محدود به دايره با زاويه‌ي قايمه بيان مي‌شود. به‌طور مشابه، صفحه‌ها در فضاي «سه‌بعدي هذلولوي» با «قطاع كره‌ها» نشان داده مي‌شوند. قطاع‌ كره‌ها در داخل كره‌اي بزرگ – كه دنياي هذلولوي ما را احاطه كرده‌اند – قرار گرفته و با دايره‌ي محيطي با زاويه‌ي قايمه برخورد مي‌كنند (شكل 10).

يك چندوجهي هذلولوي حجمي است كه با تقاطع چند صفحه‌ي هذلولوي به‌دست مي‌آوريم و درست همانند اين‌كه فضاي اقليدسي را با چند چندوجهي (به‌عنوان مثال: مكعب) پوشانده‌ايم مي‌توانيم فضاي سه‌بعدي هذلولوي را با چندجهي‌هاي هذلولوي پوشش دهيم. در شكل 11 – كه برگرفته از فيلم مشهور «بدون گره» (Not Knot) است – چنين پوششي را از منظري عميق در فضاي هذلولوي نشان مي‌دهد كه فاصله‌ي زيادي از دايره‌ي محيطي در بي‌نهايت دارد.

شباهت دنيا در دوبعد مطالعه‌ي چيزي است كه مي‌توانيم در محدوده‌ي ديسك مذكور به‌نام «دايره» ببينيم. حالت شكل 2 خيلي جالب‌توجه نيست: همه‌ي تكه‌ها (Tiles) به‌سادگي اطراف دايره افزايش مي‌يابند. اكنون فرض كنيد تكه‌ي اوليه يك چندضلعي باشد كه داراي تعداد محدودي ضلع است اما به هر روشي به‌سمت بيرون و حد مرزي مذكور افزايش مي‌يابد؛ همانند ناحيه‌اي كه به‌رنگ «زرد» در شكل 12 مشاهده مي‌شود. سپس هريك از نسخه‌هاي آن به دايره‌ي حدمرزي در چهار كمان مدور برخورد مي‌كنند. اگرچه تكه‌ها به‌طور كامل همه‌ي فضاي هذلولوي دوبعدي (داخل ديسك)‌ را پوشش مي‌دهند كل كمان‌ها به‌طور كامل دايره را پر نمي‌كنند.

مجموعه‌ي نقاط حذف شده داراي ويژگي‌هاي جالب‌توجهي هستند به‌عنوان مثال: يك «فراكتال» (Fractal) محسوب مي‌شوند. اين مثالي است از آن‌چه به‌بيان رياضي يك «مجموعه‌ي كانتور» (Cantor Set) يا به‌طور محاوره‌اي «شن فراكتال» (Fractal Dust) ناميده مي‌شود.

اگر شما داراي زندگي دوبعدي در همان صفحه به‌عنوان ديسك بوده اما خارج از آن قرار داشته باشيد آن‌چه را از هر «چندضلعي هذلولوي» مي‌بينيد «كماني مدور» خواهد بود كه با دايره‌ي مرزي برخورد خواهد داشت. در سه‌بعد، شباهت يك چندضلعي با اضلاع به‌تعداد محدود يك چندوجهي با وجوه به‌تعداد محدود است. ناظران بيروني اين وجوه را سايه‌هايي خواهند يافت كه در آن، چندوجهي به كره برخورد خواهد كرد.

شكل 13 نشان‌دهنده‌ي كره‌اي با چهارضلعي‌هايي است كه داخل آن را پوشش داده‌اند. چهارضلعي‌ها با الگويي قابل‌‌ملاحظه (Remarkable) در حدمرزي كره همانند بيني‌هايي - كه در مقابل يك جام شيشه‌اي فشرده شده مشاهده مي‌شوند - افزايش مي‌يابند.

شكل 14 نشان‌دهنده‌ي الگوهايي در يك كره بر روي صفحه اين‌بار با روشي متفاوت در رنگ كردن است.

الگوهايي نظير آن توسط رياضيدان آلماني «فليكس كلاين» (Felix Klein) مطالعه شد. در دهه‌ي 1360 (1980 ميلادي)، «ديويد مامفورد» (David Mumford) فهميد فراكتال‌ها هدف طبيعي اكتشاف كامپيوتر محسوب مي‌شوند. وي به‌همراه «ديويد رايت» (David Wright) به يك پژوهش براي طبقه‌بندي (Systematic) دست زد كه نهايتاً نه‌تنها منجر به رياضيات جديد و اميدبخشي شد بلكه منجر به تأليف كتابي با عنوان «مرواريدهاي خدايي» (Indra's Pearls) گرديد.

اين كتاب الگوهاي قابل‌ملاحظه‌اي (Remarkable) را نشان مي‌دهد كه با رشد (arise) در بي‌نهايت به جام شيشه‌اي مي‌رسند. هم‌چنين اين الگوها با حداقل اطلاعات پيش‌زمينه‌اي در رياضيات (همراه با حداقل اطلاعات لازم رياضي همراه با ذكر جزويات كافي و تصاوير مربوط) در اين كتاب نشان داده شده است.

از لحاظ رياضي اين كار بايد با «انعكاس» (Reflection)، «دوران» (Rotation) و «برگردان» (Translation) انجام شود: مي‌توان هر پوششي را با روش‌هايي نظير ذيل به‌دست آورد:

«دوران‌ها»، «انعكاس‌ها» و «برگردان‌ها» و حركت‌هايي كه پشت سر هم انجام مي‌شوند مجموعاً «حركت‌هاي صلب» (Rigid Motions) يا «تقارن‌هاي صلب» (Rigid Symmetries) ناميده مي‌شوند. علت اين‌كه از كلمه‌ي «صلب» (Rigid) استفاده مي‌شود آن است كه فواصل، زوايا يا تقارن‌هاي آن دستخوش تغيير نمي‌گردد به‌خاطر اين‌كه مي‌توان اشكال متقارن را بدون تغيير رها كرد.

براي توصيف يك پوشش، همه‌ي آن‌چه مورد نياز است عبارت است از: توصيف تكه‌ي اوليه همراه با فهرستي از تقارن‌هايي كه پوشش را ايجاد مي‌كند. اگرچه تكه‌هاي بسيار نامحدودي وجود دارند فهرست تقارن‌ها ممكن است محدود باشد. به‌خاطر آن‌كه ممكن است بارها و بارها به همه‌ي تكه‌ها با اجراي تقارن‌هاي يكسان دست يافت.

اين امر در فضاي اقليدسي سه‌بعدي هم صحيح است. براي پوشش با چندجهي‌ها (به‌عنوان مثال: مكعب‌ها) بايد از يك چندوجهي مركزي شروع كرده و به‌طور تكراري تعدادي از تقارن‌ها را اعمال نماييم. تنها در اين صورت است كه نسبت به «انعكاس‌ها»، «برگردان‌ها» و «دوران‌هاي» سه‌بعدي اجازه مي‌يابيم.

پوشش فضاي «هذلولوي سه‌بعدي» نيز به‌همان صورت است: با يك چندوجهي هذلولوي آغاز مي‌كنيم و تعدادي از تقارن‌هاي هذلولوي را تكرار مي‌كنيم تا اين‌كه به تمام جهان افزايش يابد؛ بدون اين‌كه به‌سختي درباره‌ي آن‌چيزي فكر كنيم كه تقارن‌هاي هذلولوي شباهت دارند. به‌ياد مي‌آوريم كه علاقه‌مند به آن‌چيزي هستيم كه در درون «كره» اتفاق مي‌افتد؛ كره‌اي كه جهان هذلولوي ما را احاطه مي‌كند.

اين بدين‌معنا است كه نيازمند به شروع با يك وجه از چندوجهي هستيم كه در مقابل كره‌ي محيطي فشرده شده به‌طور تكرارپذيري تعدادي حركت را اعمال مي‌كند. اين در حالي است كه نظاره‌گر تكرار تصويرهاي آن وجه و افزايش آن در كره‌ي محيطي هستيم (شكل 15).

آن‌ها «دايره» را به «دايره‌اي» با تغييرهاي شعاع مجاز تبديل مي‌كنند. چنين تبديل‌‌هايي به‌خاطر رياضيدان آلماني «آگوست موبيوس» (August Mobius)، «تبديل‌‌هاي موبيوس» (Mobius Transformation) ناميده مي‌شوند.

زماني كه از اعداد «مختلط» (Complex Number) استفاده مي‌كنيم فرمول‌هاي «تبديل‌هاي موبيوس» (Mobius Transformation) به‌اصطلاح شسته و رفته‌ترين محسوب مي‌شوند. اگر فكر كنيم به هر نقطه‌ي  از صفحه عدد «مختلط»  نسبت دهيم پس «تبديل‌هاي موبيوس» (Mobius Transformation) صفحه را با حركت نقطه‌ي  به نقطه‌ي ذيل تبديل مي‌كند:

كه در آن ، ،  و  اعداد «مختلط» ثابت هستند.

به‌عنوان مثال:

مي‌توانيم با دو تبديل آغاز كنيم:

و

سپس يك شكل اساسي مثلاً: آدم موج‌سوار را انتخاب مي‌كنيم و هر دوي اين تبديل‌ها را بارها و بارها در شكل مذكور اعمال مي‌كنيم. همان‌طور كه در شكل 17 مي‌بينيد با افزايش سطح (Level) تكرار، تصاوير كوچك شده و دچار اعوجاج مي‌شود. اگر تبديل‌‌ها در شروع را هوشيارانه انتخاب كنيم زماني كه تصوير افزايش مي‌يابد الگوي به‌دست‌ آمده به‌طور متحيركننده‌اي زيبا خواهد شد.

براي مشاهده‌ي دقيق‌تر آن‌چيزي كه در ادامه اتفاق مي‌افتد اغلب، شكل اوليه را رسم مي‌كنيم و تنها نظاره‌گر منطقه‌اي مي‌شويم كه تصاوير كوچك و كوچك‌تر آن افزايش مي‌يابند. اصطلاح «مجموعه‌ي كراندار يا تصادفي» (Limit or Chaotic Set) در اين موارد به‌كار مي‌رود به‌خاطر اين‌كه در اين بخش‌ها، تقارن به‌صورت تصادفي اعمال مي‌شود.

با انتخاب تقارن‌هاي اوليه همراه با مراقبت‌ كافي مي‌توانيم «مجموعه‌هاي كرانداري» (Limit Set) ايجاد كنيم كه داراي الگوهاي پيچيده‌اي از دايره‌هاي مماس برهم باشد. دو تبديل نوشته شده در فوق، «كلاه كاسكت آپولوني» (Apollonian Gasket) مشهور را ايجاد مي‌كند كه در ابتداي اين زنگ تفريح از آن صحبت كرديم.

به‌عنوان مثالي ديگر مي‌توان به مارپيچ دايره‌هاي مماس بر هم در الگويي زيبا اشاره كرد.

يك الگوي مارپيچي مشابه در شكل 20 نشان داده شده است.

اما راه‌هاي ديگري براي رسيدن به «بي‌نهايت» وجود دارد. ترافيك شديد در «بزرگراه همت»! در واقع ترافيك به‌صورت تواني با تعداد سطوح (Levels) افزايش مي‌يابد و ....

چنين افزايش تواني به ما پوشش‌هاي هذلولوي را خاطرنشان مي‌كند به‌خصوص زماني كه با فرايند تكرارپذير و مشابه ايجاد شود. در شكل 21 با شش دايره‌ي مجزا آغاز مي‌كنيم. براي هر دايره‌ي  ممكن است تبديلي بيابيم كه جايگزين درون و بيرون دايره‌ي  شده و هر نقطه در دايره‌ي  را ثابت گرفته و از جابه‌جايي آن صرف‌نظر كنيم. چنين «تبديل‌‌هايي» «وارونگي» (Inversion) ناميده مي‌شوند.

«وارونه كردن» در نقطه‌ي  ياداور «انعكاس» (Reflection) است كه تنها نسبت به يك «خط راست» منعكس نمي‌شود بلكه ممكن است نسبت به «دايره» نيز انجام گردد. به‌استثناي اين حقيقت كه همانند «انعكاس» چرخش از عقب به جلو انجام مي‌شود «وارونگي» نوع به‌‌خصوصي از «تبديل‌‌هاي موبيوس» (Mobius Transformation) محسوب مي‌گردد.

زماني كه اين انعكاس را نسبت به نقطه‌ي  اعمال مي‌كنيم پنج دايره‌ي ديگري - كه بيرون دايره‌ي  قرار دارند - به پنج دايره‌ي كوچك‌تر داخل آن منعكس مي‌شوند. اگر اين كار را براي هريك از شش دايره اعمال كنيم با هركدام از آن‌ها به پنج دايره‌ي كوچك‌تر در سطح (Level) دوم منتهي خواهيم شد. تكرار اين فرايند به پنج دايره‌ي كوچك‌تر داخل هريك از اين دايره‌ها در سطح (Level) دوم منتهي خواهد شد. در سطح بعدي،  دايره‌ي بسيار كوچك به‌دست خواهيم آورد و ...