تلاش براي شمارش تعداد حالت‌هايي كه دايره‌ها پديدار مي‌شوند خيلي پيچيده به‌نظر مي‌رسد زيرا اين حالت‌ها مستقل نيستند. به‌عبارت ديگر اين‌كه دايره‌اي به‌مركز يك رأس ايجاد شود بر تشكيل دايره در رؤوس مجاور مؤثر است. 

يك ويژگي‌ي مهم اميد رياضي اين است كه اميد رياضي مجموع برابر است با مجموع اميد رياضي‌ها. به مسئله خوب فكر كنيد. آسان‌تر از آن چيزي است كه نشان مي‌دهد!   

رأسي را در مثلثي در نظر بگيريد كه داراي شش مثلث كوچك در اطراف آن است. هريك از چنين مثلث‌هايي داراي يك‌سوم احتمال مربوط به كمان مربوطه از دايره به‌مركزيت آن رأس است. بنابراين احتمال اين‌كه آن رأس داراي دايره‌اي كامل در اطرافش باشد از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

براي به‌دست آوردن مقدار «اميد رياضي» (Expected Value) تعداد دايره‌هاي كامل به‌سادگي نياز به ضرب اين احتمال در تعداد رؤوسي دارد كه مي‌تواند داراي دايره‌هاي كامل در اطرافش باشد. اگر مثلث اصلي به  مثلث كوچك‌تر تقسيم شود پس تعداد چنين رؤوسي از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 1)

بنابراين مقدار مورد انتظار «اميد رياضي» (Expected Value) از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 2)