مجموعه، از بنداشت‌هاي(اصول تعريف ناپذير) در رياضيات است.
به هر گردايه يا دسته مشخص از اشياء دو به دو متمايز گفته مي‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگي آن از مفاهيم پايه‌اي رياضي است.
نظريه مجموعه‌ها در اواخر سده  مطرح شد و اکنون يکي از بخش‌هاي اصلي رياضيات است.
مجموعه گردايه‌اي از اشياء متمايز است. اين اشياء، عضوها يا عناصر مجموعه ناميده مي‌شوند. اعضاي يک مجموعه ممکن است هر چيزي باشند. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌اي از حقايق مجموعه‌هاي ديگر و جز اينها، بنابراين منظور از اشياء در تعريف مجموعه لزوماً اشياء مادي نيست بلکه هر نهادي را هرچند انتزاعي و کاملاً ذهني (همچون اعداد) مي‌توان در رياضيات يک شيء دانست و گردايه? آن اشياء را مجموعه‌اي دانست.
معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتين مانند A، B،C نشان مي‌دهيم. دو مجموعه Aو B برابر هستند اگر اعضاي آن يکسان باشند.
يک مجموعه را مي‌توان با عباراتي به شکل زير تعريف کرد:
•    Aمجموعه? نخستين  عدد طبيعي است.
•    B مجموعه‌اي است که اعضاي آن رنگ‌هاي پرچم ايران است.
همچنين مي‌توانيم اعضاي مجموعه را ميان دو کروشه قرار دهيم:
•    {1,2,3,4} =   C
•    {سبز , سفيد , قرمز} = D
البته دو تعريف گوناگون، هر دو مي‌توانند نشان دهنده يک مجموعه باشند. مثلاً براي مجموعه‌هايي که در بالا تعريف کرديم، Aو C يکسان هستند زيرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنين به طور مشابه B = D . توجه کنيد که در يک مجموعه، جابه‌جايي عناصر و نوشتن اعضاي تکراري تأثيري در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:
{6,11,6,6} = {6,11} = {11,6}
حال فرض کنيد E مجموعه نخستين هزار عدد طبيعي باشد. براي نمايش چنين مجموعه‌هاي بزرگي (که تعداد اعضاي آنها زياد است)، نوشتن همه عناصر مجموعه غير عملي است. بنابراين Eرا به طور خلاصه به اين شکل نمايش مي‌دهيم:
E = {1,2,3,…,1000}
معمولاً اين شکل نوشتن براي مجموعه‌هايي به کار مي‌رود که اعضاي آن الگوي مشخصي را دنبال مي‌کنند که براي همه واضح است. اما در مجموعه‌هايي مانند{?-،?-،?،...،??? }=F به راحتي نمي‌توان تشخيص داد که "F مجموعه? نخستين ?? عددي است که چهار واحد کمتر از مربع عدد ديگري ست.
مجموعه مجموعه فازي  است که براي تمامي عناصر آن، ارزش تابع عضويت صفر باشد .

سوال
تعداد زير مجموعه‌هاي {10 و ... و 2 و 1} که مجموع اعضاي آن بر 8 بخش‌پذير باشد چندتاست؟
الف) 125
ب ) 126
ج ) 127
د ) 128
هـ) 129

پاسخ

معلوم است که با جمع کردن تعدادی از اعداد { 1 و 2 و 4 } همه اعداد از 1 تا 7 را به شکل زیر می‌توان تولید کرد:

حال باید توجه کرد که اگر زیر مجموعه دلخواهی از { 10 و 9 و 8 و 7 و 6 و 5 و 3 } =  A را در نظر بگیریم , بستگی به این که مجموع اعضای آن زیر مجموعه در تقسیم بر 8 چه باقی‌مانده‌ای داشته باشد , می‌توان زیر مجموعه‌ای از مجموعه { 1 و 2 و 4 } به آن اضافه کرد تا حاصل بر 8 بخش‌پذیر باشد. اگر مجموع اعضای مجموعه تهی را 0 در نظر بگیریم که بر 8 بخش‌پذیر است, آنگاه به ازای هر زیر مجموعه A که تعداد آنها 2⁷ یعنی 128 است  یک و فقط یک زیر مجموعه به صورت مطلوب یافت خواهد شد.

مجموعه، از بنداشت‌هاي(اصول تعريف ناپذير) در رياضيات است.
به هر گردايه يا دسته مشخص از اشياء دو به دو متمايز گفته مي‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگي آن از مفاهيم پايه‌اي رياضي است.
نظريه مجموعه‌ها در اواخر سده  مطرح شد و اکنون يکي از بخش‌هاي اصلي رياضيات است.
مجموعه گردايه‌اي از اشياء متمايز است. اين اشياء، عضوها يا عناصر مجموعه ناميده مي‌شوند. اعضاي يک مجموعه ممکن است هر چيزي باشند. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌اي از حقايق مجموعه‌هاي ديگر و جز اينها، بنابراين منظور از اشياء در تعريف مجموعه لزوماً اشياء مادي نيست بلکه هر نهادي را هرچند انتزاعي و کاملاً ذهني (همچون اعداد) مي‌توان در رياضيات يک شيء دانست و گردايه? آن اشياء را مجموعه‌اي دانست.
معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتين مانند A، B،C نشان مي‌دهيم. دو مجموعه Aو B برابر هستند اگر اعضاي آن يکسان باشند.
يک مجموعه را مي‌توان با عباراتي به شکل زير تعريف کرد:
•    Aمجموعه? نخستين  عدد طبيعي است.
•    B مجموعه‌اي است که اعضاي آن رنگ‌هاي پرچم ايران است.
همچنين مي‌توانيم اعضاي مجموعه را ميان دو کروشه قرار دهيم:
•    {1,2,3,4} =   C
•    {سبز , سفيد , قرمز} = D
البته دو تعريف گوناگون، هر دو مي‌توانند نشان دهنده يک مجموعه باشند. مثلاً براي مجموعه‌هايي که در بالا تعريف کرديم، Aو C يکسان هستند زيرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنين به طور مشابه B = D . توجه کنيد که در يک مجموعه، جابه‌جايي عناصر و نوشتن اعضاي تکراري تأثيري در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:
{6,11,6,6} = {6,11} = {11,6}
حال فرض کنيد E مجموعه نخستين هزار عدد طبيعي باشد. براي نمايش چنين مجموعه‌هاي بزرگي (که تعداد اعضاي آنها زياد است)، نوشتن همه عناصر مجموعه غير عملي است. بنابراين Eرا به طور خلاصه به اين شکل نمايش مي‌دهيم:
E = {1,2,3,…,1000}
معمولاً اين شکل نوشتن براي مجموعه‌هايي به کار مي‌رود که اعضاي آن الگوي مشخصي را دنبال مي‌کنند که براي همه واضح است. اما در مجموعه‌هايي مانند{?-،?-،?،...،??? }=F به راحتي نمي‌توان تشخيص داد که "F مجموعه? نخستين ?? عددي است که چهار واحد کمتر از مربع عدد ديگري ست.
مجموعه مجموعه فازي  است که براي تمامي عناصر آن، ارزش تابع عضويت صفر باشد .

سوال
تعداد زير مجموعه‌هاي {10 و ... و 2 و 1} که مجموع اعضاي آن بر 8 بخش‌پذير باشد چندتاست؟
الف) 125
ب ) 126
ج ) 127
د ) 128
هـ) 129

پاسخ

معلوم است که با جمع کردن تعدادی از اعداد { 1 و 2 و 4 } همه اعداد از 1 تا 7 را به شکل زیر می‌توان تولید کرد:

حال باید توجه کرد که اگر زیر مجموعه دلخواهی از { 10 و 9 و 8 و 7 و 6 و 5 و 3 } =  A را در نظر بگیریم , بستگی به این که مجموع اعضای آن زیر مجموعه در تقسیم بر 8 چه باقی‌مانده‌ای داشته باشد , می‌توان زیر مجموعه‌ای از مجموعه { 1 و 2 و 4 } به آن اضافه کرد تا حاصل بر 8 بخش‌پذیر باشد. اگر مجموع اعضای مجموعه تهی را 0 در نظر بگیریم که بر 8 بخش‌پذیر است, آنگاه به ازای هر زیر مجموعه A که تعداد آنها 2⁷ یعنی 128 است  یک و فقط یک زیر مجموعه به صورت مطلوب یافت خواهد شد.