رياضيات پلي براي فرهنگ

اگر بدانيد كه به كجا نگاه كنيد مي‌توانيد «رياضيات» را در هر چيزي بيابيد!

رياضيات تنها در اعداد در صندوق پول‌شمار يا بازي فوتبال خلاصه نمي‌شود. رياضيات در نقش‌هاي كاشي‌هاي حمام، شكال ابرها و درختان، نظم گلبرگ‌هاي گل‌ها، مسير يك توپ در بازي «پين‌بال» (Pinball)، گره‌هاي بند كفش‌ها و حتي در مسيري كه بندهاي كفش‌هاي‌اتان را مي‌بنديد وجود دارد.

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) پروفسور «انستيتو پلي‌تكنيك رنسيلار» (Rensselaer Polytechnic Institute) در اين زمينه، مثال‌هاي بيش‌تري بيان كرده است. وي رياضيات را در «ساخت تسبيح»، «بافتن سبد»، «قاليچه‌هاي ناواجو» (Navajo Rugs)، «موسيقي جديد» و حتي «يال‌هاي گل آفتابگردان» يافته است.

وي معتقد است بهترين راه براي ايجاد انگيزه در دانش‌اموزان به‌كار بردن آن درباره‌ي چيزهايي است كه به آن توجه مي‌كنند.

با اين هدف، وي برنامه‌هاي كامپيوتري طراحي كرده است تا مفاهيم رياضيات را در هر چيزي از «هنر ديوار نوشته‌ها» (Graffiti Art) و «معماري روستاهاي افريقايي» تا «ساخت تسبيح سنتي امريكا» و موسيقي «پورتو ريكان» (Puerto Music) نشان دهد. در حالي كه دانش‌اموزان مي‌سازند و آزمايش مي‌كنند رياضيات را به‌روشي كه احساس مي‌كنند ياد مي‌گيرند.

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) مي‌گويد: «كودكان رياضيات را مي‌دانند اما به‌گونه‌اي كه در مدارس شناخته شده نيست».

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) با نشان دادن عكس‌هايي كه از هواپيما از افريقا گرفته است ابتدا ارتباط بين «فرهنگ» و «رياضيات» را ياداوري مي‌كند. او ياداور مي‌شود كه بيش‌تر خانه‌هاي روستايي به‌شكل دايره‌هايي از دايره‌هايي از دايره‌هايي يا مستطيل‌هايي از مستطيل‌هايي از مستطيل‌ها ساخته شده‌اند.

در رياضيات، الگويي كه خود را در مقياس‌هاي متفاوت تكرار مي‌كند «فراكتال» (Fractal) ناميده مي‌شود. هر ساختار كوچك‌تري رونوشت مينياتوري از شكل بزرگ‌تر آن است.

«فراكتال»ها اغلب در طبيعت ظاهر مي‌شوند. به‌عنوان مثال، يك درخت شاخه‌هايي دارد كه به شاخه‌هايي ديگر تقسيم مي‌شود كه آن‌ها نيز به شاخه‌هايي‌ بيش‌تر تقسيم مي‌شوند و ...

قواعدي كه «فراكتال‌»ها از آن پيروي مي‌كنند ساده هستند. اما الگوهاي حاصل مي‌توانند پيچيده باشند (شكل 3).

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) مي‌گويد: افرادي كه در روستاهايي در افريقا زندگي مي‌كنند كه براساس «فراكتال»‌ها ساخته شده‌اند از رياضيات در انعكاس معنويات استفاده مي‌كنند. آنان اعتقاد دارند كه زندگي چرخه‌اي پايان‌ناپذير است و نياكان آنان هميشه با آنان هستند. الگوهاي تكرارشونده ممكن است انتظار سلامتي يا بهداشت به‌شكل پايان‌ناپذير آن باشد.

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) «فراكتال»‌ها را نه‌تنها در طراحي روستاها كشف كرده است بلكه در طرح‌هاي مجسمه‌‌ها، منسوجات و اشكال هنري ديگر نيز يافته است.

وي مي‌گويد: رياضيات و فرهنگ در جاهاي ديگر نيز با يكديگر همراه هستند..

به‌عنوان مثال، بسياري از گروه‌هاي بومي امريكايي در چهار نقطه انعكاس‌دهنده‌ي يكديگر هستند كه عبارتند از:

- جهت‌هاي چهارگانه

- چهار نوع باد

- چهار قسم رنگ

اين چهار نقطه‌ي تقارن در «ساخت تسبيح»، «ساختار خيمه‌هاي مخروطي شكل»، «تزيينات گردون» (Buffalo- Hide Drum)، «نقاشي بر روي شن‌ها» و چيزهاي ديگر ظاهر مي‌شود.

از نظر رياضيدانان، اين الگوها به چيزهايي تعلق دارد كه «سيستم مختصات دكارتي» (Cartesian Coordinate System) ناميده مي‌شود. تصاويري كه بر روي نمودارها با محورهاي X و Y  سنجيده مي‌شوند و بدين‌ترتيب براي هر نقطه از نمودار، دو عدد يا دو بعد اختصاص مي‌يابد. هم‌چنين مجموعه‌اي از قواعد به‌نام «الگوريتم»‌ها وجود دارد كه به چگونگي رسم چنين اشكال را مرحله به مرحله بر روي صفحه‌ي نمودار يا صفحه‌ي كامپيوتر نشان مي‌دهد.

با استفاده از برنامه‌ي طراحي شده توسط اين دانشمند به‌نام «نمودار تسبيح مجازي ايگلاش» (Eglash's Virtual Bead Loom Program)  افراد مي‌توانند آزمايش‌هايي را با «سيستم مختصات دكارتي» براي ايجاد كارهاي هنري زيباي خود انجام دهند. بدين‌ترتيب مي‌توان هنر «طراحان ديوار نوشته‌ها» (Graffiti Grapher)، «بافندگان قاليچه‌هاي ناواجو» (Navajo Rugs)، «بافندگان سبدهاي آلاسكايي» (Alaskan Basket Weaver) را براين اساس لمس كرد.

از بين ديگر خلاقيت‌هاي «ران ايگلاش» (Ron Eglash) مي‌توان به برنامه‌اي به‌نام «چرخ‌هاي موزون» (Rhythm Wheels) اشاره كرد. اين برنامه كودكان را تشويق مي‌كند وقتي با دو مجموعه‌ي تكراري از صداي طبل هركدام با ضرب‌آهنگ خود مواجه مي‌شوند شكلي بكشند. بدين‌ترتيب كودكان در حين كار با اين برنامه، مفهوم «تقسيم» و «مخرج مشترك» را مي‌فهمند.

برنامه‌ي ديگري كه توسط اين دانشمند طراحي شده است «منحني‌هاي آفتابگردان» (Cornrow Curves) ناميده مي‌شود. با اين برنامه دانش‌اموزان «هندسه‌ي ترنسفورميشنال» (Transformational Geometry) را مي‌آموزند. بدين‌ترتيب با الگوهاي تكراري كار كرده با تغيير در مقياس‌ها، الگوهاي جديد مو را ايجاد مي‌نمايند.

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) نمي‌تواند به هرجايي كه مي‌نگرد از ديدگاه آموزش رياضي به آن نگاه نكند. جديدترين برنامه‌هاي وي هنوز در حال ساخت است. در اين برنامه‌ها از يك روبات استفاده مي‌كند كه رقص‌كنان زاويه‌ها را با حركت حول يك محور در فضاي سه‌بعدي آموزش مي‌دهد.

برنامه‌هاي رياضي «ران ايگلاش» (Ron Eglash) محبوب دانش‌اموزان است. براساس يك تحقيق، گروهي از كودكان بسيار كوچك بعد از استفاده از اين برنامه، احساس بهتري نسبت به رياضيات داشتند. هم‌چنين اين تحقيقات نشان داد گروهي از دانش‌اموزان امريكاي لاتين با استفاده از اين ابزار مراحل ترقي در رياضيات را طي كردند.

در جوامع بومي امريكايي، از درس‌هاي ارائه شده توسط اين برنامه‌ها تقدير مي‌كنند زيرا كودكان توسط اين برنامه‌ها با تاريخ مردمانشان آشنا مي‌شوند.

در واقع، هر برنامه‌ي طراحي شده توسط «ران ايگلاش» (Ron Eglash) آميزه‌اي از: «فرهنگ»، «تاريخ» و «رياضيات» است.

«جيم بارتا» (Jim Barta) پروفسور «دانشگاه ايالتي يوتا» (Utah State University) در «لوگان» (Logan) مي‌گويد: هر بار كه والدين و پدر بزرگ‌ها و مادر بزرگ‌ها در تكاليف مدرسه‌اي از لحاظ فرهنگي محترم شمرده مي‌شوند كودكانشان را بيش‌تر به مطالعه تشويق مي‌كنند.

وي مي‌افزايد: «والدين مي‌گويند آرزو مي‌كردند معلماني داشتند كه رياضيات را اين‌گونه به آنان بياموزد. من هم اين‌گونه دوست دارم!»»

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) مي‌گويد: معمولاً «فرهنگ» مانعي براي «رياضيات» بوده است در حالي كه بدين‌ترتيب ما توانسته‌ايم «رياضيات» را پلي براي «فرهنگ» قرار دهيم.

 

اكنون بياييم با هم آموزش نقاشي «دانه‌هاي برف» را با روشي مشابه مرور كنيم. براي اين منظور نياز به وسايل ذيل داريم:

- مدادد

- خط‌كش

- صفحه‌ي كاغذ

- نقاله براي اندازه‌گيري زاويه‌ها براي رسم مثلث.

چگونه بايد عمل كنيم؟

n يك مثلث متساوي‌الاضلاع با اضلاع هر يك 9 سانتي‌متر در قسمت بالا و در سمت چپ كاغذ رسم مي‌كنيم. بايد ياداوري كنيد كه هر زاويه‌ي اين مثلث 60 درجه خواهد بود.

n هر ضلع 9 سانتي‌متري را به سه قسمت مساوي تقسيم كنيد؛ بدين‌ترتيب هر قسمت 3 سانتي‌متر طول خواهد داشت. در مركز هر ضلع، يك مثلث متساوي‌الاضلاع رسم كنيد به‌گونه‌اي كه اندازه‌ي آن نصف مثلث اصلي باشد. اين مثلث‌ها بايد به‌سمت بيرون مثلث اصلي رسم شوند. به‌علت اين‌كه طول هر ضلع از مثلث اصلي 9 سانتي‌متر است، ضلع سه مثلث‌ متساوي‌الاضلاع كوچك‌تر 3 سانتي‌متر خواهد بود. وقتي لبه‌هاي بيروني شكل حاصل را مشاهده كنيم يك «ستاره‌ي شش‌ضلعي» را خواهيم ديد كه از 12 ضلع تشكيل شده است. اين شكل را به قسمت وسط صفحه‌ي كاغذ منتقل كنيد. 

n با افزودن تكراري مثلث‌هايي در هر ضلع مثلث يك شيء «فراكتال» حاصل خواهد شد كه يك رياضيدان سوئيسي بر روي آن نام «منحني دانه‌هاي برف ون‌ كُخ» گذاشته است. اين نام از نام آن رياضيدان «نيلز فابين هلگ وان‌ كُخ» (Niels Fabian Helge Von Koch) گرفته شده است..

رياضيات پلي براي فرهنگ

اگر بدانيد كه به كجا نگاه كنيد مي‌توانيد «رياضيات» را در هر چيزي بيابيد!

رياضيات تنها در اعداد در صندوق پول‌شمار يا بازي فوتبال خلاصه نمي‌شود. رياضيات در نقش‌هاي كاشي‌هاي حمام، شكال ابرها و درختان، نظم گلبرگ‌هاي گل‌ها، مسير يك توپ در بازي «پين‌بال» (Pinball)، گره‌هاي بند كفش‌ها و حتي در مسيري كه بندهاي كفش‌هاي‌اتان را مي‌بنديد وجود دارد.

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) پروفسور «انستيتو پلي‌تكنيك رنسيلار» (Rensselaer Polytechnic Institute) در اين زمينه، مثال‌هاي بيش‌تري بيان كرده است. وي رياضيات را در «ساخت تسبيح»، «بافتن سبد»، «قاليچه‌هاي ناواجو» (Navajo Rugs)، «موسيقي جديد» و حتي «يال‌هاي گل آفتابگردان» يافته است.

وي معتقد است بهترين راه براي ايجاد انگيزه در دانش‌اموزان به‌كار بردن آن درباره‌ي چيزهايي است كه به آن توجه مي‌كنند.

با اين هدف، وي برنامه‌هاي كامپيوتري طراحي كرده است تا مفاهيم رياضيات را در هر چيزي از «هنر ديوار نوشته‌ها» (Graffiti Art) و «معماري روستاهاي افريقايي» تا «ساخت تسبيح سنتي امريكا» و موسيقي «پورتو ريكان» (Puerto Music) نشان دهد. در حالي كه دانش‌اموزان مي‌سازند و آزمايش مي‌كنند رياضيات را به‌روشي كه احساس مي‌كنند ياد مي‌گيرند.

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) مي‌گويد: «كودكان رياضيات را مي‌دانند اما به‌گونه‌اي كه در مدارس شناخته شده نيست».

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) با نشان دادن عكس‌هايي كه از هواپيما از افريقا گرفته است ابتدا ارتباط بين «فرهنگ» و «رياضيات» را ياداوري مي‌كند. او ياداور مي‌شود كه بيش‌تر خانه‌هاي روستايي به‌شكل دايره‌هايي از دايره‌هايي از دايره‌هايي يا مستطيل‌هايي از مستطيل‌هايي از مستطيل‌ها ساخته شده‌اند.

در رياضيات، الگويي كه خود را در مقياس‌هاي متفاوت تكرار مي‌كند «فراكتال» (Fractal) ناميده مي‌شود. هر ساختار كوچك‌تري رونوشت مينياتوري از شكل بزرگ‌تر آن است.

«فراكتال»ها اغلب در طبيعت ظاهر مي‌شوند. به‌عنوان مثال، يك درخت شاخه‌هايي دارد كه به شاخه‌هايي ديگر تقسيم مي‌شود كه آن‌ها نيز به شاخه‌هايي‌ بيش‌تر تقسيم مي‌شوند و ...

قواعدي كه «فراكتال‌»ها از آن پيروي مي‌كنند ساده هستند. اما الگوهاي حاصل مي‌توانند پيچيده باشند (شكل 3).

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) مي‌گويد: افرادي كه در روستاهايي در افريقا زندگي مي‌كنند كه براساس «فراكتال»‌ها ساخته شده‌اند از رياضيات در انعكاس معنويات استفاده مي‌كنند. آنان اعتقاد دارند كه زندگي چرخه‌اي پايان‌ناپذير است و نياكان آنان هميشه با آنان هستند. الگوهاي تكرارشونده ممكن است انتظار سلامتي يا بهداشت به‌شكل پايان‌ناپذير آن باشد.

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) «فراكتال»‌ها را نه‌تنها در طراحي روستاها كشف كرده است بلكه در طرح‌هاي مجسمه‌‌ها، منسوجات و اشكال هنري ديگر نيز يافته است.

وي مي‌گويد: رياضيات و فرهنگ در جاهاي ديگر نيز با يكديگر همراه هستند..

به‌عنوان مثال، بسياري از گروه‌هاي بومي امريكايي در چهار نقطه انعكاس‌دهنده‌ي يكديگر هستند كه عبارتند از:

- جهت‌هاي چهارگانه

- چهار نوع باد

- چهار قسم رنگ

اين چهار نقطه‌ي تقارن در «ساخت تسبيح»، «ساختار خيمه‌هاي مخروطي شكل»، «تزيينات گردون» (Buffalo- Hide Drum)، «نقاشي بر روي شن‌ها» و چيزهاي ديگر ظاهر مي‌شود.

از نظر رياضيدانان، اين الگوها به چيزهايي تعلق دارد كه «سيستم مختصات دكارتي» (Cartesian Coordinate System) ناميده مي‌شود. تصاويري كه بر روي نمودارها با محورهاي X و Y  سنجيده مي‌شوند و بدين‌ترتيب براي هر نقطه از نمودار، دو عدد يا دو بعد اختصاص مي‌يابد. هم‌چنين مجموعه‌اي از قواعد به‌نام «الگوريتم»‌ها وجود دارد كه به چگونگي رسم چنين اشكال را مرحله به مرحله بر روي صفحه‌ي نمودار يا صفحه‌ي كامپيوتر نشان مي‌دهد.

با استفاده از برنامه‌ي طراحي شده توسط اين دانشمند به‌نام «نمودار تسبيح مجازي ايگلاش» (Eglash's Virtual Bead Loom Program)  افراد مي‌توانند آزمايش‌هايي را با «سيستم مختصات دكارتي» براي ايجاد كارهاي هنري زيباي خود انجام دهند. بدين‌ترتيب مي‌توان هنر «طراحان ديوار نوشته‌ها» (Graffiti Grapher)، «بافندگان قاليچه‌هاي ناواجو» (Navajo Rugs)، «بافندگان سبدهاي آلاسكايي» (Alaskan Basket Weaver) را براين اساس لمس كرد.

از بين ديگر خلاقيت‌هاي «ران ايگلاش» (Ron Eglash) مي‌توان به برنامه‌اي به‌نام «چرخ‌هاي موزون» (Rhythm Wheels) اشاره كرد. اين برنامه كودكان را تشويق مي‌كند وقتي با دو مجموعه‌ي تكراري از صداي طبل هركدام با ضرب‌آهنگ خود مواجه مي‌شوند شكلي بكشند. بدين‌ترتيب كودكان در حين كار با اين برنامه، مفهوم «تقسيم» و «مخرج مشترك» را مي‌فهمند.

برنامه‌ي ديگري كه توسط اين دانشمند طراحي شده است «منحني‌هاي آفتابگردان» (Cornrow Curves) ناميده مي‌شود. با اين برنامه دانش‌اموزان «هندسه‌ي ترنسفورميشنال» (Transformational Geometry) را مي‌آموزند. بدين‌ترتيب با الگوهاي تكراري كار كرده با تغيير در مقياس‌ها، الگوهاي جديد مو را ايجاد مي‌نمايند.

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) نمي‌تواند به هرجايي كه مي‌نگرد از ديدگاه آموزش رياضي به آن نگاه نكند. جديدترين برنامه‌هاي وي هنوز در حال ساخت است. در اين برنامه‌ها از يك روبات استفاده مي‌كند كه رقص‌كنان زاويه‌ها را با حركت حول يك محور در فضاي سه‌بعدي آموزش مي‌دهد.

برنامه‌هاي رياضي «ران ايگلاش» (Ron Eglash) محبوب دانش‌اموزان است. براساس يك تحقيق، گروهي از كودكان بسيار كوچك بعد از استفاده از اين برنامه، احساس بهتري نسبت به رياضيات داشتند. هم‌چنين اين تحقيقات نشان داد گروهي از دانش‌اموزان امريكاي لاتين با استفاده از اين ابزار مراحل ترقي در رياضيات را طي كردند.

در جوامع بومي امريكايي، از درس‌هاي ارائه شده توسط اين برنامه‌ها تقدير مي‌كنند زيرا كودكان توسط اين برنامه‌ها با تاريخ مردمانشان آشنا مي‌شوند.

در واقع، هر برنامه‌ي طراحي شده توسط «ران ايگلاش» (Ron Eglash) آميزه‌اي از: «فرهنگ»، «تاريخ» و «رياضيات» است.

«جيم بارتا» (Jim Barta) پروفسور «دانشگاه ايالتي يوتا» (Utah State University) در «لوگان» (Logan) مي‌گويد: هر بار كه والدين و پدر بزرگ‌ها و مادر بزرگ‌ها در تكاليف مدرسه‌اي از لحاظ فرهنگي محترم شمرده مي‌شوند كودكانشان را بيش‌تر به مطالعه تشويق مي‌كنند.

وي مي‌افزايد: «والدين مي‌گويند آرزو مي‌كردند معلماني داشتند كه رياضيات را اين‌گونه به آنان بياموزد. من هم اين‌گونه دوست دارم!»»

«ران ايگلاش» (Ron Eglash) مي‌گويد: معمولاً «فرهنگ» مانعي براي «رياضيات» بوده است در حالي كه بدين‌ترتيب ما توانسته‌ايم «رياضيات» را پلي براي «فرهنگ» قرار دهيم.

 

اكنون بياييم با هم آموزش نقاشي «دانه‌هاي برف» را با روشي مشابه مرور كنيم. براي اين منظور نياز به وسايل ذيل داريم:

- مدادد

- خط‌كش

- صفحه‌ي كاغذ

- نقاله براي اندازه‌گيري زاويه‌ها براي رسم مثلث.

چگونه بايد عمل كنيم؟

n يك مثلث متساوي‌الاضلاع با اضلاع هر يك 9 سانتي‌متر در قسمت بالا و در سمت چپ كاغذ رسم مي‌كنيم. بايد ياداوري كنيد كه هر زاويه‌ي اين مثلث 60 درجه خواهد بود.

n هر ضلع 9 سانتي‌متري را به سه قسمت مساوي تقسيم كنيد؛ بدين‌ترتيب هر قسمت 3 سانتي‌متر طول خواهد داشت. در مركز هر ضلع، يك مثلث متساوي‌الاضلاع رسم كنيد به‌گونه‌اي كه اندازه‌ي آن نصف مثلث اصلي باشد. اين مثلث‌ها بايد به‌سمت بيرون مثلث اصلي رسم شوند. به‌علت اين‌كه طول هر ضلع از مثلث اصلي 9 سانتي‌متر است، ضلع سه مثلث‌ متساوي‌الاضلاع كوچك‌تر 3 سانتي‌متر خواهد بود. وقتي لبه‌هاي بيروني شكل حاصل را مشاهده كنيم يك «ستاره‌ي شش‌ضلعي» را خواهيم ديد كه از 12 ضلع تشكيل شده است. اين شكل را به قسمت وسط صفحه‌ي كاغذ منتقل كنيد. 

n با افزودن تكراري مثلث‌هايي در هر ضلع مثلث يك شيء «فراكتال» حاصل خواهد شد كه يك رياضيدان سوئيسي بر روي آن نام «منحني دانه‌هاي برف ون‌ كُخ» گذاشته است. اين نام از نام آن رياضيدان «نيلز فابين هلگ وان‌ كُخ» (Niels Fabian Helge Von Koch) گرفته شده است..