قانون دوم كپلر

---

 

حركت دايره‌اي و دوراني

حركت دايره‌اي يكنواخت

«حركت دايره‌اي يكنواخت» مي‌تواند بر حركت يك شيء در يك دايره با سرعت ثابت اطلاق شود. در حالي كه يك شيء در يك دايره حركت مي‌كند دايماً راستاي حركت خود را تغيير مي‌دهد. در همه‌ي حالت‌ها، شيء مماس بر يك دايره حركت مي‌نمايد.

چون راستاي بردار سرعت با راستاي حركت شيء انطباق دارد بردار سرعت هم مماس بر دايره خواهد بود. در شكل اين موضوع با خط پيكان‌دار برداري نشان داده شده است.

شيءي كه در يك دايره حركت مي‌كند داراي شتاب است. اشياي شتاب‌گيرنده اشيايي هستند كه سرعت‌اشان در حال تغيير است اين تغيير ممكن است در اندازه (اندازه‌ي بردار سرعت) باشد يا در جهت آن.

شيءاي كه داراي حركت يكنواخت دايره‌اي است با اندازه‌ي سرعت يكسان حركت مي‌كند. با اين وجود، به‌علت «تغيير جهت» بردار سرعت داراي شتاب است. جهت بردار شتاب به‌سمت داخل است.

ويژگي حركت نهايي يك شيء به‌صورت حركت يكنواخت دايره‌اي برايند نيروهاي وارد بر آن است. جهت برايند نيروهاي وارد بر شيء در حركت يكنواخت دايره‌اي به‌سمت مركز دايره است كه به آن اصطلاحاً نيروي «مركزگرا» يا «داخلي» اطلاق مي‌شود. بدون اين نيرو، شيء به حركت در راستاي مستقيم ادامه خواهد داد و ابداً از مسير خود منحرف نخواهد شد.

با اين وجود با اعمال برايند نيروها در امتداد عمود بر بردار سرعت، شيء هميشه مسير خود را تغيير داده و متحمل شتابي داخلي مي‌شود.

 

بسياري از دانش‌اموزان به نيروهاي مركزگرا (داخلي) اعتقاد ندارند. حتي بعد از گذراندن يك دوره‌ي كامل درسي فيزيك، هنوز اعتقاد ناصحيحي نسبت به حركت دايره‌اي داشته و تصور در آن‌ها تثبيت شده است كه شيء متحمل يك نيروي خارجي مي‌شود. شايد دليل اين تصور، تجربه‌هاي‌اشان در سوار شدن بر اتومبيل و وسايل تفريحي در پارك‌هاي بازي باشد.

تصور كنيد در يك اتومبيل هستيد كه به‌سمت راست مي‌چرخد. در حالي كه اتومبيل به‌سمت راست گردش مي‌كند احساس مي‌كنيد كه به‌سمت چپ مي‌لغزيد. اتومبيل به‌علت نيروي داخلي به‌سمت راست گردش مي‌كند ولي شما احساس مي‌كنيد كه نيرويي بيروني يا از سمت چپ بر آن اعمال مي‌شود.

در واقع اتومبيل حركت گردشي خود را به‌سمت راست آغاز كرده است در حالي كه شما تمايل داريد در مسير مستقيم به حركت خود ادامه دهيد (شكل).

در شكل به فرد آبي رنگ دقت كنيد كه در يك مقطع زماني كوتاه - و بعد از آن‌كه اتومبيل شروع به گردش مي‌كند - به حركت مستقيم خود ادامه مي‌دهد. در واقع فرد آبي رنگ به حركت مستقيم خود ادامه دهد تا آن‌كه شانه‌اش به راننده (فرد قرمز رنگ) برخورد كند. يك‌بار كه فرد آبي رنگ به راننده برخورد كرد بر وي نيرويي وارد مي‌شود تا وي را به‌سمت راست منحرف كند و بدين‌ترتيب گردش كامل مي‌شود.

برايند نيروي داخلي براي اين‌كه آن را در دايره به گردش درآورد مورد نياز است. اين نيروي داخلي مورد نياز اصطلاحاً نيروي مركزگرا ناميده مي‌شود. در غياب هر برايند نيرو، شيء در حركت (مانند فرد آبي رنگ) به حركت خود در راستاي مستقيم با سرعت ثابت ادامه خواهد داد. اين مطلب به «قانون اول نيوتن» مشهور است.

در حالي كه اتومبيل گردش به‌سمت راست را آغاز مي‌كند فرد آبي رنگ و صندلي‌اش شروع به حركت به‌سمت راست مي‌كنند. بدين‌ترتيب اتومبيل زير فرد آبي رنگ شروع به لغزيدن مي‌كند. اولين باري كه فرد آبي رنگ به راننده برخورد مي‌كند مي‌تواند با اتومبيل گردش كرده حركت شبيه به حركت دايره‌اي را تجربه نمايد.

بدون يك نيروي مركزگرا، شيء به حركت خود در مسير مستقيم ادامه خواهد داد

با وجود نيروي مركزگرا، شيء شتاب گرفته و امتداد حركتش دچار تغيير خواهد شد

حركت دايره‌اي يكنواخت مي‌تواند به حركتي اطلاق شود كه در آن يك شيء در امتداد يك دايره با سرعت ثابت حركت مي‌كند. همان‌طور كه شيء در دايره حركت مي‌كند امتداد حركتش به‌طور ثابت تغيير مي‌كند. به‌خاطر اين تغيير مسير مي‌توان مطمئن بود كه شيء متحمل حركت دايره‌اي شده و در حال شتاب گرفتن است (حتي اگر اندازه‌ي سرعتش ثابت باقي بماند).

با توجه به قانون دوم نيوتن، يك شيء شتاب‌گيرنده بايد تحت نيروهايي قرار گيرد كه برايند آن صفر نباشد (نيروهاي نامتعادل). اين نيروي نامتعادل هم‌جهت با جهت شتاب شيء است.

براي اشيا با حركت شتاب ثابت، برايند نيروها و شتاب حاصل به‌سمت داخل خواهد بود لذا گفته مي‌شود حركت دايره‌اي نيازمند نيروي (مركزگراي) داخلي است.

بدون يك نيروي مركزگرا يك شيء نمي‌تواند در مسير دايره‌اي حركت كند. در واقع، اگر نيروها متعادل باشند شيء به حركت در مسير مستقيم با سرعت ثابت ادامه خواهد داد.

اين امر با حمل توپ تنيس با يك راكت تنيس پهن و مسطح قابل توضيح است. اولين باري كه توپ و راكت تنيس در حركت هستند به حركت خود در همان امتداد و با همان سرعت ادامه خواهند داد مگر آن‌كه تحت‌تأثير نيروي نامتعادلي قرار گيرند. اين همان «قانون اول نيوتن» است.

اما اگر يك نيروي نامتعادل بر راكت مسطح اعمال شود راكت شتاب خواهد گرفت. اگر اين نيرو به‌طور مداوم به‌سمت مركز يك دايره اعمال شود واقعيت ديگري مشاهده خواهد شد. با اعمال نيروي عمودي در جهت مركز دايره، توپ مي‌تواند در مسير يك دايره حركت كند. نيروي مركزگرا براي حركت دايره‌اي در سيستم باقي مي‌ماند. با فراهم آمدن شرايط براي حركت مركزگرا اين امر اتفاق خواهد افتاد (شكل).

تمايل شيء در حال حركت براي ادامه در مسير مستقيم در غياب نيروي نامتعادل و گردش در مسير دايره‌اي در حضور يك نيروي داخلي (به‌عنوان مثال: نيروي مركزگرا) در حركت با يك اتومبيل قابل مشاهده است. زماني كه اتومبيل متحمل گردشي آني مي‌شود مسافران تمايل دارند به حركت در مسير مستقيم ادامه‌ي حركت دهند. اين حركت در مسير مستقيم ادامه مي‌يابد تا اين‌كه شيء‌اي در مجارت آن يا مسافر ديگر به مسافر مذكور فشار وارد كرده حركت وي را به‌سمت مركز دايره شتاب دهد.

نيرويي كه بر مسافر اعمال مي‌شود داخلي است و بدون آن، مسافر به‌سمت بيرون اتومبيل خواهد لغزيد.

ترن‌هاي هوايي به‌خاطر ايجاد شتاب و نيروهاي گرانشي قادر هستند محتويات معده‌ي افراد را نظير موشك‌هاي هوابرد منتقل كنند و بدين‌خاطر بدنام شده‌اند!! در حالي كه افراد در اولين مرحله‌ي سقوط قرار مي‌گيرند يك دقيقه‌ي پُرماجرا با احساس‌هاي مختلف از قبيل: بي‌وزني، احساس سنگيني و ترس آغاز مي‌شود. اين احساس‌ها بيش‌تر در «چرخش‌هاي كلوتوييد» ظاهر مي‌شود.

توضيح احساس‌هاي مختلف در چرخش‌ها در ترن‌هاي هوايي با قوانين نيوتن در حركت و فيزيك حركت قابل بيان است.

يك چرخش كلوتوييد تقريباً به‌شكل يك دايره و در واقع بخشي از «كورنو اسپيرال» (اسپيرال شيپوري) (Cornu Spiral) است كه شعاع در حال تغيير با نرخ ثابتي دارد. يك فرد سوار بر ترن هوايي در حال حركت در مسير يك حلقه به‌طور مداوم جهت حركتش را تغيير مي‌دهد و هميشه جهت حركت بر مسير حلقه مماس است. اين تغيير در جهت حركت به‌واسطه‌ي وجود نيروهاي نامتعادل توليد شده و شتابي را ايجاد مي‌كند.

بدين‌ترتيب نه‌تنها شتابي وجود دارد بلكه ميزان و جهت شتاب به‌طور مداوم تغيير مي‌كند. در يك مقطع زماني يك ثانيه‌اي، افراد سوار بر ترن ممكن است شتابي برابر با 20 متر بر مجذور ثانيه به‌سمت پايين تا 20 متر بر مجذور ثانيه به‌سمت بالا متحمل شوند. اين تغييرهاي زياد در شتاب به‌طور معمول وقتي اتفاق مي‌افتد كه فرد سوار بر ترن از بالاي حلقه به‌سمت پايين آن حركت مي‌كند.

مهم است كه براي درك احساس‌هاي بي‌وزني و سنگيني در جاي خود در هنگام چرخش در يك حلقه درباره‌ي نيروهايي فكر كنيم كه بر فرد سوار بر ترن وارد مي‌شود. تنها نيروهايي كه بر فرد سوار بر ترن وارد مي‌شود عبارت است از: نيروي جاذبه و نيروي عمودي (نيرويي كه از صندلي بر فرد وارد مي‌شود).

نيروي جاذبه هميشه رو به پايين و نيروي عمودي در تمام اوقات عمود بر صندلي واگن است. چون جهت واگن در ترن به‌طور مداوم تغيير مي‌كند نيروي عمودي نيز به‌طور پيوسته در حال تغيير است. مقدار و جهت اين دو نيرو در حال حركت در شكل نشان داده شده است.

براي اين‌كه يك شيء در مسير يك دايره حركت كند لازم است برايند نيروي داخلي بر آن صفر نباشد. بنابراين برايند نيروي اعمال شده بر فرد هميشه بايد به‌سمت داخل (مركز دايره) باشد. اين نيرو معمولاً «نيروي مركزگرا» ناميده مي‌شود. چون برايند نيرو جمع برداري تمام نيروهاي مذكور است جمع نيروي عمودي و جاذبه از بالا تا پايين حلقه برابر نيروي داخلي است.

در شكل نمودار نيروهاي اعمال شده بر فرد در چهار نقطه‌ي حلقه نشان داده شده است. در اين نمودار هم‌چنين نشان داده شده است كه جمع برداري (برايند) دو نيرو در هر نقطه برابر نيروي داخلي در آن نقطه است.

احساس‌هاي مختلف از قبيل: بي‌وزني، خشك شدن در جاي خود و ترس با نيروي عمودي همراه است. اين احساس‌ها با اعمال نيروي جاذبه كم‌تر ظاهر مي‌شوند. شخصي كه احساس بي‌وزني مي‌كند وزن خود را از دست نداده است بلكه ميزان نيروي جاذبه‌اي كه بر وي اعمال مي‌شود همواره ثابت است. مقدار نيروي جاذبه در تمام نقطه‌هاي مسير حلقه يكسان مي‌باشد. اما به هر حال نيروي عمود در بالاي حلقه (جايي كه فرد احساس بي‌وزني مي‌كند) داراي مقدار كم و در پايين حلقه (جايي كه فرد احساس سنگيني مي‌كند) داراي مقدار زياد است.

نيروي عمود بر فرد در پايين حلقه بزرگ است و اين امر به‌خاطر برايند نيرو به‌سمت مركز حلقه مي‌باشد. نيروي عمودي بايد از نيروي جاذبه‌ به‌سمت خارج حلقه بزرگ‌تر باشد. در بالاي حلقه، نيروي جاذبه به‌سمت داخل حلقه بوده بنابراين نياز به نيروي عمودي براي ثابت نگه داشته شدن حركت دايره‌اي نمي‌باشد.

اين حقيقت كه فرد احساس نيروي زيادي بر بدنش در پايين حلقه مي‌كند توضيح اين امر است كه چرا احساس «سنگيني» به وي دست مي‌دهد. در واقع، فرد سنگين‌تر نشده است بلكه نيروي اعمالي زيادي را تجربه مي‌كند. اين نيرو را مي‌توان از طرف صندلي در هنگام استراحت افراد سنگين وزن مشاهده كرد.

«يوهان كپلر» (Johannes Kepler) بعد از مطالعه‌هاي بسيار مؤثر بر روي حركت سياره‌ها دور خورشيد سه قانون را پيشنهاد داد. قانون دوم كپلر مي‌گويد: بر روي خطي فرضي نزديك به يك سياره و خورشيد، سطح يكساني از فضا در واحد جاروب مي‌شود.

در شكل مدار بيضوي حركت سياره دور خورشيد نشان داده شده است.

سطوح همه‌ي مثلث‌ها اندازه‌ي يكساني دارند  كه برابر سطوح معادل قانون كپلر هستند