زنگ تفريح شماره 73
«لئوناردو» (Leonardo) در شگفت بود كه چطور جفت‌هايي از خرگوش‌ها در نسل nام به دنيا مي‌آيند. براي اينكه اين موضوع را بفهمد از يك جفت خرگوش شروع كرد و فرض كرد كه هر جفتي از خرگوش‌هاي يك نسل، يك جفت خرگوش را توليد مي‌كند و بعد يك جفت خرگوش ديگر براي نسل بعد از آن توليد مي‌كند و سپس مي‌ميرد.
اگر fn جفت از خرگوش‌ها در نسل nام باشند پس داريم:
F1=1 (جفت اصلي)
F2=1 (دوران بلوغ آن‌ها)
Fn+2 = Fn + Fn+1
اين به اين دليل است كه ما يك جفت خرگوش در نسل n+2 براي هر جفت خرگوش در نسل n يا نسل n+1 بدست مي‌آوريم.
F0= 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
كه به اين اعداد، «اعداد فيبوناچي» مي‌گويند. اعداد فيبوناچي به طريقه‌هاي ديگري نيز بوجود ميايد كه بيشتر آن‌ها باورنكردني هستند كه ظاهر آن‌ها بسيار شبيه به خرگوش‌هاي فيبوناچي است. حتي يك نشريه‌ي رياضي به اسم «فيبوتاچي سه ماه به سه ماه» (Fibonacci Quarterly) چاپ مي‌شود.
اعداد «لوكاس»
L0= 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843 1364
مثل همان قانون اما با شروعي متفاوت به اعداد بالا دست پيدا كرديم كه از خيلي از جهات شبيه به اعداد فيبوناچي است.
با توجه به آخرين رابطه‌اي كه بدست آورديم، «لوكاس» نشان داد كه اعداد فيبوناچي را با استفاده از مثلث پاسكال بدست آوريد. اگر نسبت دو عدد متوالي را بدست آوريم، به اين نتيجه مي‌رسيم كه حد اين نسبت به «عدد طلايي» نزديك مي‌شود.
نسبت‌هاي اعداد متوالي لوكاس نيز به همين حد مي‌رسد و همچنين نسبت بين اعداد متناظر فيبوناچي و لوكاس به 5√ مي‌رسد. در حقيقت، فرمولي براي fn و ln بر حسب عدد طلايي است. مسأله‌ي خرگوش‌هاي لئوناردو در دنياي واقعي اتفاق نمي‌افتد اما در طبيعت مي‌توانيد همچين چيزي را ببينيد. بين آناناس‌ها، گل‌هاي آفتابگردان و نوعي ماهي اين اتفاق مي‌افتد.
