اين مسأله در حوزه‌ي «حساب هم‌نهشتي» است كه براي حل آن تنها نياز به مطالعه‌ي اساسي اين مباحث است. دوست داريم ياداوري كنيم كه عبارت «مانده‌ي درجه‌ي دوم» تنها زماني به‌كار مي‌رود كه پيمانه عدد اول بوده «صفر» نباشد.
به‌عنوان مثال:
«مانده‌ي درجه‌ي دوم» به پيمانه‌ي 7 برابر 1، 2 و 4 است. در غير اين‌صورت از «مربع» به‌پيمانه‌ي .png)
بايد استفاده شود.
لازم به ياداوري است كه در سرتاسر اين مسأله از .png)
براي مشخص كردن «دنباله‌ي حسابي نامحدود» استفاده مي‌شود كه در آن .png)
داراي نقش اولين عدد بوده و .png)
نقش دومين عدد را دارد.اين حقيقتي مشهور است كه:
بنابراين اگر مانده‌ي درجه‌ي 2 (به‌پيمانه‌ي ) باشد پس دنباله‌ي - كه شامل همه‌ي اعداد بزرگ‌تر يا مساوي بوده و متجانس با (به‌پيمانه‌ي ) است - بايد شامل يك مربع كامل باشد.
هم‌چنين اگر مانده‌ي درجه‌ي 2 (به‌پيمانه‌ي ) نباشد دنباله‌ي شامل يك مربع كامل نخواهد بود. بنابراين دنباله‌ي شامل يك مربع كامل خواهد بود اگر و فقط اگر مانده‌ي درجه‌ي 2 (به‌پيمانه‌ي ) باشد.
از آنجايي كه اين مسأله نيز شهرت دارد كه مي‌توانيم تمام اعداد مانده‌ي درجه‌ي دو (به‌پيمانه‌ي .png)
) را به‌سادگي با مجذور همه‌ي اعداد 1 تا و پيدا كردن مانده‌ي آنها (به‌پيمانه‌ي ) تعيين كنيم مي‌توانيم مسأله را با يافتن مانده‌ي درجه‌ي دوم براي پيمانه‌هاي 2، 3، 4، 5 و 6 به‌اتمام برسانيم.
ياداوري – نيازي نيست تمام اعداد مانده‌ي درجه‌ي دو (به‌پيمانه‌ي ) به‌سادگي با مجذور همه‌ي اعداد 1 تا و پيدا كردن مانده‌ي آنها (در پيمانه‌ي 1) تعيين شود چون .png)
به‌طور جزوي شامل همه‌ي مربع‌هاي كامل بزرگ‌تر يا مساوي است.
مانده‌ي درجه‌ي دو (در پيمانه‌ي 2) «صفر» و «1» است. بنابراين دنباله‌هاي .png)
، .png)
، .png)
، .png)
، .png)
و .png)
همه شامل مربع‌هاي كامل است.
مانده‌هاي درجه‌ي دو (به‌پيمانه‌ي 3) برابر «صفر» و «1» است. بنابراين دنباله‌هاي .png)
، .png)
، .png)
و .png)
همه شامل مربع‌هايي هستند در حالي كه دنباله‌هاي .png)
و .png)
اين‌گونه نيستند.
مانده‌ي درجه‌ي دو (به‌پيمانه‌ي 4) برابر «صفر» و «1» است. بنابراين دنباله‌هاي .png)
، .png)
و .png)
همه شامل مربع‌هايي هستند در حالي كه دنباله‌هاي .png)
، .png)
و .png)
اين‌گونه نيستند.
مانده‌ي درجه‌ي دو (به‌پيمانه‌ي 5) برابر «صفر»، «1» و «4» است. بنابراين دنباله‌هاي .png)
، .png)
، .png)
و .png)
همه شامل مربع‌هايي هستند در حالي كه دنباله‌هاي .png)
و .png)
اين‌گونه نيستند.
مانده‌ي درجه‌ي دو (به‌پيمانه‌ي 6) برابر «صفر»، «1»، «3» و «4» است. بنابراين دنباله‌هاي .png)
، .png)
، .png)
و .png)
همه شامل مربع‌هايي هستند در حالي كه دنباله‌هاي .png)
و .png)
اين‌گونه نيستند.
بنابراين چون 6 بزرگ‌ترين عددي است كه در يك طاس مي‌توان نشان داد داراي 27 دنباله با مربع‌هاي كامل خواهيم بود:
اولين عدد ظاهر شده توسط طاس را عددي مانند .png)
در نظر مي‌گيريم. نتيجه‌ي طاس دوم را فرض مي‌كنيم. طبعاً روابط ذيل صادق است:
(رابطهي 2)
(رابطهي 3)
(رابطهي 4)اكنون به‌دنبال تعيين زوج‌هاي مرتب هستيم تا حداقل يك مربع كامل به‌شكل .png)
ايجاد كرده و در آن رابطهي ذيل صادق باشد:
(رابطهي 5)اگرچه از روش‌هاي متنوعي مي‌توان استفاده كرد طبيعي‌ترين روش آن است كه شش حالت را درباره‌ي متغير در نظر گرفت. به‌خصوص از خاصيتي اساسي استفاده خواهيم كرد كه مجذور كردن همه‌ي اعداد از يك سيستم مانده منجر به هر مانده‌ي ممكن براي مربع كامل در آن پيمانه مي‌شود.
معمولاً به‌دنبال پيدا كردن راه‌حلي در مورد اعداد صحيح مثبت در مورد معادله‌ي ذيل هستيم:
(رابطهي 6)اين كار معادل است با پيدا كردن مقدار كه براي بعضي مقادير .png)
وجود دارد به‌گونه‌اي كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
.png) |
(رابطهي 7) | | الف - .png) |
الف – فرض كنيد رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 8)
در اين صورت براي .png) بايد چند عدد صحيح بيابيم به‌گونه‌اي كه رابطهي ذيل صادق باشد:
(رابطهي 9)
از آنجايي كه همه‌ي اعداد صحيح به‌پيمانه‌ي 1 «متجانس» محسوب مي‌شوند مي‌دانيم همه‌ي مقادير براي ايجاد مربع‌هاي كامل در دنباله‌ي مورد نظر قابليت دارند.
براي اثبات اين امر يك بررسي ساده‌اي را اعمال مي‌كنيم؛ بلافاصله ياداوري مي‌نماييم كه 9 مربع كامل است كه در همه‌ي دنباله‌هاي مذكور صرف‌نظر از مقدار دردسترس است. بنابراين داراي 6 دنباله هستيم تا آن‌جا كه براي آن يك مربع كامل ايجاد شود. |
|
|
| | ب - .png) |
فرض كنيد رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 10)
در اين صورت براي بايد چند عدد صحيح بيابيم به‌گونه‌اي كه رابطهي ذيل صادق باشد:
(رابطهي 11)
از آنجايي كه رابطه‌هاي ذيل برقرار است:
(رابطهي 12)
(رابطهي 13)
و همه‌ي اعضاي سيستم مانده، مربع كامل هستند مي‌دانيم همه‌ي مقادير قابليت ايجاد مربع‌هاي كامل در دنباله‌ي مورد نظر را دارند. براي اثبات اين امر يك بررسي ساده‌اي را اعمال مي‌كنيم؛ بلافاصله ياداوري مي‌نماييم كه 9 مربع كامل است. وقتي عددي «زوج» باشد 16 كه يك مربع كامل است دردسترس است. بنابراين داراي بيش از 6 دنباله هستيم تا آن‌جا كه براي آن يك مربع كامل ايجاد شود. |
|
|
| | ج - .png) |
فرض كنيد رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 14)
در اين صورت براي بايد چند عدد صحيح بيابيم به‌گونه‌اي كه رابطهي ذيل صادق باشد:
(رابطهي 15)
از آنجايي كه رابطه‌هاي ذيل برقرار است:
(رابطهي 16)
(رابطهي 17)
(رابطهي 18)
مي‌دانيم مقادير - كه ممكن است .png) يا .png) باشد – قابليت ايجاد مربع‌هاي كامل را در دنباله‌ي مذكور دارد.
براي اثبات، بررسي ساده‌اي را اعمال مي‌كنيم. بايد توجه داشته باشيم كه يك مربع كامل زماني دردسترس است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 19)
و عدد 16 كه مربع كاملي است زماني دردسترس است كه رابطه‌هاي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 20)
بنابراين داراي بيش از چهار دنباله هستيم كه يك مربع كامل ايجاد مي‌شود. |
|
|
| | د - .png) |
فرض كنيد رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 21)
در اين صورت براي بايد چند عدد صحيح بيابيم به‌گونه‌اي كه رابطهي ذيل صادق باشد:
(رابطهي 22)
از آنجايي كه رابطه‌هاي ذيل برقرار است:
(رابطهي 23)
(رابطهي 24)
(رابطهي 25)
يا اين‌كه رابطهي ذيل وجود دارد:
(رابطهي 26)
مي‌دانيم مقادير - كه ممكن است .png) يا .png) باشد – قابليت ايجاد مربع‌هاي كامل را در دنباله‌ي مذكور دارد.
براي اثبات، بررسي ساده‌اي را اعمال مي‌كنيم. بايد توجه داشته باشيم 16 كه مربعي كامل است زماني دردسترس است كه داشته باشيم:
(رابطهي 27)
و عدد 9 كه مربع كاملي است زماني دردسترس است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 28)
بنابراين داراي بيش از چهار دنباله هستيم كه يك مربع كامل ايجاد مي‌شود. |
|
|
| | هـ - .png) |
فرض كنيد رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 29)
در اين صورت بايد چند عدد صحيح بيابيم به‌گونه‌اي كه رابطهي ذيل صادق باشد:
(رابطهي 30)
از آنجايي كه رابطه‌هاي ذيل برقرار است:
(رابطهي 31)
(رابطهي 32)
(رابطهي 33)
يا اين‌كه رابطهي ذيل را داريم:
(رابطهي 34)
(رابطهي 35)
مي‌دانيم مقادير - كه ممكن است .png) يا .png) باشد – قابليت ايجاد مربع‌هاي كامل را در دنباله‌ي مذكور دارد.
براي اثبات، بررسي ساده‌اي را اعمال مي‌كنيم. بايد توجه داشته باشيم 25 كه مربعي كامل است زماني دردسترس است كه داشته باشيم:
(رابطهي 36)
و عدد 16 كه مربع كاملي است زماني دردسترس است كه رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 37)
بنابراين زماني كه .png) باشد 4 كه يك مربع كامل است دردسترس خواهد بود. بدين‌ترتيب دنباله‌هاي بيش‌تري خواهيم داشت كه براي آن يك مربع كامل ايجاد مي‌شود. |
|
|
| | و - |
فرض كنيد رابطهي ذيل برقرار باشد:
(رابطهي 38)
در اين صورت براي بايد چند عدد صحيح بيابيم به‌گونه‌اي كه رابطهي ذيل صادق باشد:
(رابطهي 39)
از آنجايي كه رابطه‌هاي ذيل برقرار است:
(رابطهي 40)
(رابطهي 41)
(رابطهي 42)
(رابطهي 43)
(رابطهي 44)
(رابطهي 45)
مي‌دانيم مقادير - كه ممكن است .png) يا باشد – قابليت ايجاد مربع‌هاي كامل را در دنباله‌ي مذكور دارد.
براي اثبات، بررسي ساده‌اي را اعمال مي‌كنيم. بايد توجه داشته باشيم كه 25 كه مربعي كامل است زماني دردسترس است كه داشته باشيم:
(رابطهي 46)
بنابراين:
| - زماني كه .png) باشد 9 يك مربع كامل دردسترس خواهد بود. | | - زماني كه .png) باشد 16 يك مربع كامل دردسترس خواهد بود. | | - زماني كه .png) باشد 36 يك مربع كامل دردسترس خواهد بود. |
بدين‌ترتيب بيش از چهار دنباله خواهيم داشت كه براي آن يك مربع كامل ايجاد مي‌شود. |
با جمع‌بندي نتايج از هر شش حالت فوق مي‌فهميم كه از 36 دنباله‌ي ممكن، دقيقاً .png)
دنباله شامل حداقل يك مربع كامل خواهد بود.