موضوع ریاضیات بررسی انواع روابط کمی و انواع ارتباطات بین کمیت‌هاست. در گذشته، ریاضیات به دو شاخه‌ی عمده ی حساب و هندسه اطلاق می شد، اما امروزه شاخه‌های متعدد دیگری در ریاضیات پدید آمده اند و ارتباط تنگاتنگی بین این شاخه‌ها موجود است که گاهی اوقات تمایز آن‌ها از یکدیگر دشوار است.

نخستین بار اقلیدس دانشمند یونانی هندسه را به صورت یک دستگاه قیاسی عرضه داشت تا پس از چند قرن اخیر آن را کامل ترین نمونه ی یک دستگاه قیاسی می شناختند. اما به دنبال کوشش‌هایی که برای اثبات اصل توازی به‌کار رفت که ریاضی‌دانان ایرانی به ویژه، خیام، در این باره سهم به سزایی داشتند و به عرضه هندسه‌های نا اقلیدسی انجامید، هیلبرت، ریاضی‌دان آلمانی و دیگران دیدگاه اصل موضوعی هندسه را عرضه کردند. ریاضی‌دانان دیگری نیز حساب را با روش اصل موضوعی مورد بررسی قرار دادند که پنانو، ریاضی‌دان ایتالیایی را باید سردسته‌ی آنان دانست. کانتور، ریاضیدان آلمانی، از راه ارائه‌ی نظریه‌ی مجموعه‌ها بر آن شد که همه‌ی ریاضیات را به گونه‌ی واحد در یک دستگاه بیان کند.

برای اثبات هر قضیه در ریاضیات روش‌های مختلفی وجود دارد که برخی از آن‌ها عبارتند از:

1- برهان مستقیم
در برهان مستقیم، نتیجه از ترکیب منطقی اصول، تعاریف‌ و تئوری‌های پیشین به‌دست می‌آید. به‌طور مثال برهان مستقیم برای اثبات زوج بودن جمع دو عدد زوج به کار می‌رود:
برای هر ۲ عدد صحیح x و y می‌توانیم بنویسیم x = 2a و y = 2b به ازای بعضی اعداد صحیح a و b، زیرا هر دوی x و y زوجند. اما جمع (x + y) = 2a + 2b = 2(a + b) همچنین یک عدد زوج است، پس طبق تعریف زوج است.
این اثبات از تعریف اعداد زوج صحیح، و همین‌طور قاعده توزیع استفاده می‌کند.

2- اثبات استقرایی
در اثبات استقرایی، ابتدا یک «حالت پایه» اثبات می‌شود، و سپس به کمک «فرض استقراء» مجموعه‌ای از حالات بعدی اثبات می‌شود (عموما متناهی). از آن‌جایی که حالت پایه صحیح است، حالات دیگر هم باید صحیح باشند، حتی اگر همه‌ی آن‌ها هم نتوانند به خاطر تعداد نامتناهیشان به صورت مستقیم اثبات شوند.

3- اثبات از طریق ترانهش
اثبات از طریق ترانهش نتیجه‌ی «اگر p آن‌گاه q» را برقرار می‌سازد به وسیله‌ی اثبات گزاره‌ی قلب معادل با آن که «اگر نقیض q آن‌گاه نقیض p» می‌باشد.

4- اثبات با بر هان خلف
در اثبات با برهان خلف، فرض می‌کنیم گزاره‌ای غلط است، سپس به یک تناقض منطقی می‌رسیم، پس نتیجه می‌گیریم که آن گزاره باید صحیح باشد. این روش یکی از متداول‌ترین روش‌های اثبات در ریاضی است.

5- اثبات از طریق شبیه‌سازی
اثبات از طریق شبیه سازی، یا اثبات با تمثیل، در حقیقت ساختن یک مثال واقعی با خصوصیتی ویژه‌ است تا نشان دهیم چیزی با آن خصوصیت وجود دارد. این روش اثبات همان‌طور که از نام آن پیداست برای نشان دادن وجود خاصیتی یا وقوع حالتی به کار می‌آید.

6- اثبات فرسایشی
در اثبات فرسایشی، نتیجه‌ی مطلوب از طریق تقسیم آن به تعداد متناهی‌ای از حالات‌ و اثبات هر کدام به‌صورت جداگانه به‌دست می‌آید. در اثبات فرسایشی، تعداد حالات‌ ممکن است خیلی زیاد باشد. به‌طور مثال، اولین اثبات تئوری چهار رنگ، یک اثبات فرسایشی با ۱۹۳۶ حالت مختلف بود. این اثبات یک اثبات جدال آمیز بود زیرا در آن اکثری حالات‌ با کامپیوتر چک شده بود و نه با دست. کوتاه‌ترین اثبات شناخته شده برای تئوری ۴ رنگ، هنوز هم بیش از ۶۰۰ حالت را در بر می‌گیرد.

7- اثبات احتمالات
اثبات احتمالاتی اثباتی است که در آن به‌وسیله ی تئوری احتمالات، با قطعیت، نشان می‌دهیم که مثالی با ویژگی مطلوب وجود دارد. این‌را نباید با گزاره‌ای که احتمال درستی دارد (شاید درست باشد)، اشتباه گرفت. استدلال اخیر را هم‌چنین می‌توان استدلال گزاره‌ی معقول نام نهاد که البته یک اثبات نیست. در فرضیه‌ی کولاتز مشخص است که این چقدر با یک اثبات واقعی فاصله دارد. در حالی که بیشتر ریاضیدان‌ها معتقدند که گواه احتمالاتی اصلا یک روش معتبر اثبات ریاضی نیست، تعدادی از ریاضیدان‌ها و فلاسفه بر این باورند که حداقل تعداد خاصی از استدلال‌های احتمالاتی (مانند الگوریتم احتمالاتی رابینز برای تشخیص اعداد اول) به خوبی یک اثبات معتبر ریاضی هستند.
اثبات احتمالاتی مانند اثبات با شبیه سازی، یکی از راه‌های مختلف برای نشان دادن تئوری‌های وجودی هستند.

Lothar Collatz (1910-1990)

8- اثبات ترکیبیاتی
اثبات ترکیبیاتی برابری ۲ عبارت را ثابت می‌کند با نشان دادن این که هر دو عبارت یک چیز را می‌شمارند.

9- اثبات غیر تمثیل
اثبات غیر تمثیلی نشان می‌دهد که یک گزاره‌ی ریاضی باید وجود داشته باشد، بدون این که توضیح دهد چگونه چنان گزاره‌ای به‌دست می‌آید. بیشتر اوقات، این شکل از اثبات، فرم برهان خلفی را به خود می‌گیرد که در آن اثبات می‌شود که وجود نداشتن چنان گزاره‌ای غیرممکن است. در مقابل، اثبات‌هایی تمثیلی (اثبات از طریق شبیه سازی) هستند که بیان می‌کنند گزاره‌ای وجود دارد، به‌وسیله ی ارائه کردن راهی برای پیدا کردن آنها.

10- اثبات ابتدایی الگو:
اثبات ابتدایی اثباتی است که از تحلیل‌های پیچیده استفاده نمی‌کند.
تا مدت‌ها این باور وجود داشت که تئوری‌های خاصی مانند تئوری اعداد اول، مسایل تنها به کمک «ریاضیات پیشرفته» قابل اثبات هستند. در حالی که با گذشت زمان، بسیاری از این نتایج، با استفاده از تکنیک‌های ابتدایی به اثبات رسیدند.

ما در این‌جا سخن کوتاه کرده و در پایان خاطرنشان می‌کنیم هدف ما ارایه‌ی روش واحد و مطمن برای حل مسایل نیست چون چنین چیزی امکان‌پذیر نیست. حتی‌الامکان به دنبال این هستیم که خوانندگان را از سردرگمی در آورده و به آن‌ها نشان دهیم ریاضیات و متعاقب آن علوم دوست داشتنی‌تر از آن هستند که ما تصور می‌کنیم. اگر کسی احساسی غیر از این دارد ضعف از علم نیست بلکه از نمایندگان ناشایسته‌ی آن یعنی ماست. بیت زیر را برای پایان این بحث مناسب دیدیم:

چون نیک نظر کرد پر خویش در آن دید        گفتا ز که نالیم از ماست که بر ماست

موفق باشید.

 غلامرضا پورقلی