ميزگرد

جواب

راه هندسي
مجبوريم نشان دهيم وقتي افراد و كارت‌ها در وضعيت صحيح قرار نگرفته‌اند دقيقاً تنها يك نفر در هر يك از 15 دوران روي صندلي صحيح پشت ميز قرار مي‌گيرد. اما اين يك مفهوم استاندارد درباره‌ي تقارن يك چند ضلعي منظم است كه متشكل از  دوران و بازتاب

زماني كه  عددي «فرد» باشد هر بازتاب يك رأس (مثلاً: رأس ) را تثبيت كرده و موقعيت رأس مذكور را در فاصله‌ي  از سمت راست تا سمت چپ رأس  تغيير مي‌دهد.

كافي است مشاهده كنيم كه يك بازتاب بعد از دوران داراي همان اثر يك بازتاب به‌تنهايي است يعني ترتيب رؤؤس معكوس مي‌شود بنابراين دقيقاً بايد تنها يك رأس در وضعيت ثابت وجود داشته باشد. در مورد رأس مطرح شده در مسأله، موقعيت ثابت بيانگر فردي است كه در مقابل كارت صحيح نشسته است.

 راه جبري
در راه جبري مي‌توانيم فرض كنيم:

(رابطه‌ي 1)

كه در آن  و  اعداد كم‌تر از 15 هستند؛ هم‌چنين  داراي هر دو ويژگي بوده و به‌همراه  نسبت به عدد 15 «اول» محسوب مي‌شوند.  بايد نسبت به 15 «اول» باشد به‌گونه‌اي كه رابطه‌ي  براي دقيقاً يك مقدار  صادق بوده و مقدار  هم اهميتي ندارد.

 احتمالاً داراي مقادير ذيل است:

(رابطه‌ي 2)

اين مقادير تنها مقادير ممكن براي  است تا نسبت به 15 بتواند «اول» باشد.

از آن‌جايي كه عدد 14 همان  است اين مقدار، جوابي عمومي براي مسأله نيز محسوب مي‌شود يعني وضعيتي كه نام كارت‌ها مخالف نام افراد باشد.

دو جواب ديگر اين مسأله اين است كه كارت  در جلوي فرد  گذاشته شود و يا كارت  در جلوي فرد  (كه معادل است با نشستن فرد  در جلوي كارت ).

زماني كه  عددي «فرد» باشد  هميشه يك جواب مسأله خواهد بود. علت آن است كه  و  نسبت به هر عدد «فرد»  اول هستند.

 واضح است كه وقتي  عددي «زوج» باشد راه‌حلي براي رابطه‌ي وجود ندارد به‌خاطر اين‌كه  يا  يا «زوج» بوده و بنابراين نسبت به  «اول» نيستند.

وقتي عددي «زوج» باشد هرگز آرايشي از  در مورد كارت‌ها وجود ندارد به‌گونه‌اي كه از هر  از عدد صفر تا ، تنها عدد  (در بين اعداد صفر تا ) در رابطه‌ي  صدق مي‌كند.

شرايطي كه در آن براي هر عدد ، رابطه‌ي  تنها با عدد  برقرار باشد جايگشت‌هاي  و  از  خواهد بود.

اكنون  را به‌شكل ذيل تعريف مي‌كنيم:

(رابطه‌ي 3)

توجه كنيم كه داريم:

(رابطه‌ي 4)

علت آن است كه عبارت‌هاي داخل «براكت‌ها» جمع اعداد صحيح از صفر تا ‌هستند.

اما از آن‌جايي كه لازم است  جايگشتي از اعداد صحيح از صفر تا  باشد بايد ‌معادل جمع آن اعداد صحيح باشد به‌عبارت ديگر:

(رابطه‌ي 5)

از آن‌جايي كه  عددي «زوج» است براي بعضي از مقادير  داريم:

(رابطه‌ي 6)

از آن‌جايي كه  داريم:

(رابطه‌ي 7)

اين با رابطه‌ي 4 - كه در آن ‌است - در تناقض مي‌باشد. نتيجه مي‌گيريم كه تعداد افراد  نمي‌تواند «زوج» باشد.