مسابقه شماره ۲۳۷
سوال
یک رشته دودویی n- رقمی را یک عدد جهانی می‌نامیم در صورتی که وقتی خودش را با معکوسش جمع بزنیم دو بر یک ایجاد نشود. مثلا فرض کنید 6 = n.
در این صورت 2(010001) یک عدد جهانی است چون معکوس آن 2(100010) است و موقع جمع زدن این دو عدد , هیچ دو رقم 1 روی هم قرار نمی‌گیرد تا موقع جمع زدن دو بر یک به وجود آید. ( در واقع دو بر یک , معادل ده بر یک , در جمع اعداد دودویی است و وقتی ایجاد می‌شود که جمع ارقام واقع در یک ستون , بیشتر از 1 شود ). تعداد اعداد دودویی جهانی 10 رقمی چقدر است؟
پاسخ
رقم اول و آخر را یک بسته , رقم دوم و ماقبل آخر (نهم) را یک بسته , و رقم پنجم و ششم را نیز یک بسته در نظر می‌گیریم. اولا معلوم می‌شود مه تعداد بسته‌ها برابر 5 می‌باشد و ثانیا دو رقم موجود در درون هر بسته مستقل از بسته‌های دیگر بر رووی هم سه حالت «0 0» , «0 1» و «0 1» را می‌توانند داشته باشند , بنابراین طبق اصل ضرب جواب مورد نظر 35 می‌باشد.