حتی دانش‌آموزان نسبتا خوب، هنگامی که پاسخ مساله‌ای را به‌دست آورده و آن را می‌نویسند، کتاب و دفترشان را می‌بندند و به کار دیگری مشغول می‌شوند. با این کار آنها بخش مهم و آموزنده‌ای از کارشان را از دست می‌دهند.
در این راه یادگیری تمام‌شدنی نیست، حتی در جایی که تخصص دارید؛ مثلا من بیش از ده سال است که از رساله‌ی دکتری خود که موضوع آن مربوط به آنالیز هارمونیک است دفاع کرده‌ام، ولی هنوز چیزهای حیرت‌آوری در آنالیز هارمونیک ابتدایی می‌آموزم.
شما نباید از یک لم یا قضیه فقط برای این استفاده کنید که از آن در حل یک مساله کمک گرفته باشید، بلکه باید به صورت عمیق آن قضیه را از همه جهت واکاوی کنید:
• آیا می‌توانید راه‌حلی جایگزین پیدا کنید؟
• اگر شما دو اثبات از لم را بلدید، آیا میدانید این دو اثبات تا چه اندازه با هم هم‌ارزند؟ آیا آنها در جهتهای خودشان تعمیم داده می‌شوند؟ دو اثبات در چه چیزهایی مشترکند؟ ضعف‌ها و قوت‌های هر یک از اثبات‌ها نسبت به دیگری چه هستند؟
• آیا میدانید هر یک از فرض‌ها به چه دردی می‌خورند؟
• چه تعمیم‌هایی می‌تواند وجود داشته باشد / حدس زده می‌شود / قابل کشف است؟
• آیا حالت‌های خاص و ساده‌تر از لم وجود دارد که برای کاربرد موردنظر ما کافی باشد؟
• چه مثال‌هایی کاربرد لم را می‌تواند به نمایش بگذارد؟
• چه زمانی استفاده از لم مفید به‌نظر میآید و چه زمانی نه؟
• لم در حل چه مساله‌هایی می‌تواند کمک کند و چه مساله‌هایی فراتر از توانایی لم برای کمک در اثبات آنهاست؟
• آیا نظیر لم در شاخه‌های دیگر ریاضیات نیز پیدا می‌شود؟
• آیا لم در یک نمونه‌ی عملی یا برنامه‌ی وسیع‌تر می‌گنجد؟
سخن‌رانی یا نوشتن شرح سخن‌رانی در حوزهی تحصیلی‌تان معمولا مفید است، حتی اگر تنها برای استفاده‌ی شخصی باشند. شما به‌تدریج خواهید توانست که حتی دشوارترین نتایج را با مختصر‌نویسی‌های کافی با خود داشته باشید. این نه تنها به شما اجازه‌ی استفاده‌ی بی‌زحمت از نتایج را خواهد داد و توانایی شما در آن حوزه را تقویت می‌بخشد، بلکه ذهن شما ظرفیت خالی بیشتری برای یادگیری موضوعات بیشتر خواهد داشت.