ترتيب گره‌ها اهميتي ندارد اما به هر حال بايد حاصل‌ضرب اين ضرايب چندجمله‌اي را بر تقسيم كنيم. بنابراين تعداد راه‌ها از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 1)

اكنون تعداد راه‌هاي گره زدن  طناب به يكديگر براي ايجاد حلقه را در نظر مي‌گيريم. طناب‌ها مي‌توانند پي در پي به يكديگر با ترتيبي دلخواه گره زده شوند به‌گونه‌اي كه  راه براي ترتيب انجام آن وجود داشته باشد.

اولين انتهاي اولين طناب مي‌تواند به هر انتهاي دومين طناب گره زده شود و سر باقي‌مانده‌ي دومين طناب به انتهاي سومين طناب و به‌همين ترتيب ادامه مي‌دهيم.

 راه براي انجام اين امر وجود دارد بنابراين كل تعداد راه‌ها براي گره زدن  طناب به يكديگر در يك «حلقه‌ي تك» از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌‌ي 2)

نهايتاً مي‌توانيم تعداد كل حلقه‌ها بين همه‌ي گره‌هاي ممكن را بشماريم:

	-  راه براي انتخاب يك طناب و  راه براي گره زدن آن به يك حلقه و  راه براي گره زدن بقيه‌ي طناب‌ها به يكديگر وجود دارد.
	- به‌طور مشابه،  راه براي انتخاب دو طناب،  راه براي گره زدن آن‌ها به يك حلقه و  راه براي گره زدن چهار طناب‌ ديگر وجود خواهد داشت.

با توسعه‌ي اين فرايند، مي‌توان هر حلقه به هر ميزان بزرگي را شمارش كرد. بدين‌ترتيب تعداد كل حلقه‌ها از رابطه‌ي ذيل به‌دست خواهد آمد:

(رابطه‌ي 3)